Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

Queremos desenvolver um software que será composto por 5 módulos. Admita que o número de comandos em cada módulo pode ser tratado como uma variável aleatória com distribuição Normal de média μ = 60 comandos e desvio padrão   σ = 10 comandos. Há independência entre os números de comandos dos diversos módulos. O objetivo é calcular a média e o desvio padrão do número total de comandos desse software. Foi proposta a seguinte solução: Sejam X   = número de comandos em um módulo e Y   = número de comandos total no software. Então X   ∼   N ( 60 ;   102 ) . Além disso,   Y   =   5 X . Logo: E ( Y )   =   5   ×   60   =   300   c o m a n d o s ; V a r ( Y )   =   52   ×   102   =   2500   c o m a n d o s ² ; D P ( Y ) = √ 2500 = 50 comandos.

Pergunta-se:

(a) Está correta essa solução? Se sim, por que sim? Se não, por que não?

(b) Apresente outra resolução para o problema.

(c) A suposição de Normalidade é de fato essencial para se resolver o problema? E quanto à suposição de independência?

Passo 1

a)

Aqui a questão quer saber se estar certo dizer que Y = 5 X ...

Concorda comigo que quando dizemos isso estamos implicando que Y vai ser 5 vezes a mesma coisa? E isso não parece certo, já que Y deve representar os comandos em todos os módulos. Quando fazemos essa igualdade, estamos dizendo que necessariamente todos os 5 módulos terão o mesmo número de comandos, o que muito provavelmente não acontecerá!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Sabemos que:

X ~ N o r m a l ( 60 ; 10 2 )

Sabemos também que Y deve ser a soma dos X ' s , e existem 5 v.a.’s X , então:

Y = X 1 + X 2 +   X 3 + X 4 + X 5 = ∑ i = 1 5 X i

E quando fazemos uma soma de v.a’s, vamos ter outra v.a. com a mesma distribuição, porém devemos multiplicar seus parâmetros:

E Y = 5 × 60 = 300   c o m a n d o s

V a r Y = 5 × 10 2 = 500   c o m a n d o s 2 → D P Y = 22,36   c o m a n d o s

Passo 3

c)

Repara que nós não precisamos usar a distribuição Normal para nada! Nós só supomos que as v.a.s seguiriam a mesma distribuição por derivarem uma da outra e é isso. Então a suposição de Normalidade não é necessária.

Porééém, a gente só pode fazer essas operações por que existe independência entre as variáveis. Se duas variáveis forem dependentes, a covariância delas não é nula e teríamos que lidar com outros problemas na hora de calcular V a r Y . Então a suposição de independência é essencial!

Resposta

a)

Não está correta.

b)

Y = ∑ i = 1 5 X i     ,     E Y = 300     ,     V a r Y = 500

c)

Normalidade não é essencial. Independência é essencial.

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