Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

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Enunciado

A dureza Rockwell de uma liga particular é distribuída normalmente, com uma média de 70 e um desvio padrão de 4 .

  1. Determinar a probabilidade da dureza estar entre 62 e 72 .
  2. Se o intervalo aceitável para a dureza fosse ( 70 - c ,   70 + c ) , para qual valor de c teríamos 95 % de todos os espécimes com dureza aceitável?

Passo 1

a)

Chamando de X → valor da dureza Rockwell.

A gente tem que:

X   ~   N o r m a l   70,16

Já que a média é μ = 70 , e o desvio padrão é σ = 4 .

Temos que calcular:

P 62 < X < 72 =   ?

Passo 2

Pra isso, primeiro padronizamos...

P 62 < X < 72 = P 62 - 70 4 < Z < 72 - 70 4

= P - 2 < Z < 0,5

Isso é a mesma coisa que:

P Z < 0,5 - P Z < - 2

Primeiro vamos mudar esse negativo aí...

P Z < - 2 = P Z > 2

Concorda? A gente faz essa adaptação pra poder procurar o valor na tabela, já que lá não tem valores negativos.

Pra fechar:

P Z > 2 = 1 - P Z < 2

Aí:

P Z < 0,5 - P Z < - 2

= P Z < 0,5 - 1 - P Z < 2

= P Z < 0,5 + P Z < 2 - 1

Procurando esses valores na tabela da Normal...

= 0,6915 + 0,9773 - 1

= 0,6688

Passo 3

b)

O que o exercício pede é qual o valor de c pra que a afirmação abaixo seja verdade.

P 70 - c < X < 70 + c = 0,95

Vamos padronizar...

P 70 - c - 70 4 < Z < 70 + c - 70 4 = 0,95

P - c 4 < Z < c 4 = 0,95

P Z < c 4 - P Z < - c 4 = 0,95

P Z < c 4 - 1 - P Z < c 4 = 0,95

2 . P Z < c 4 - 1 = 0,95

P Z < c 4 = 0,975

Entendeu o que eu fiz? Padronizei e depois fui resolvendo igual a gente fez na letra (a). Só que no final agora a gente tem que descobrir primeiro qual o valor da tabela que nos dá probabilidade 0,975 .

Passo 4

Vamos caçar dentro da tabela o 0,975 ou o mais perto e aí a gente vê o valor do z , cruzando linha e coluna...

Fazendo isso...

z = 1,96

c 4 = 1,96

c = 7,84

Resposta

a   0,6688

b   c = 7,84

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