Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

Distribuição Normal

Suponhamos que o nível educacional de adultos de um certo país, apresenta distribuição normal com média de 12 anos e variância de 16 anos², determine:

  1. A probabilidade de que um adulto escolhido aleatoriamente, tenha entre 10 e 13 anos de tempo de estudo.
  2. Toma-se uma amostra de 8 adultos, qual a probabilidade da média desta amostra ser menor que 11 anos?
  3. Toma-se uma amostra de 6 adultos, qual a probabilidade do menos idoso na amostra exceder 15 anos de estudo?

Passo 1

(a)

Temos uma variável, que representa o nível educacional dos adultos do país, e a gente sabe que ela segue uma distribuição normal.

X   ~   N o r m a l   12 ,   16

Certo?

A primeira coisa que o exercício pede é pra gente calcular:

P 10 < X < 13 =   ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeira coisa a fazer é padronizar isso, transformando pra Z ...

P 10 < X < 13 = P 10 - 12 4 < Z < 13 - 12 4

= P - 0,5 < Z < 0,25

Vamos ver que região é essa, embaixo da gaussiana...

Então fica:

= P Z < 0,25 - P Z < - 0,5

Vamos tirar o negativo dali, porque na tabela não tem negativo né...

= P Z < 0,25 - P Z > 0,5

E isso é o mesmo que:

= P Z < 0,25 - 1 - P Z < 0,5

Agora a gente pode olhar na tabela...

P Z < 0,25 = 0,5987

P Z < 0,5 = 0,6915

= 0,5987 - 1 + 0,6915

= 0,2902

Passo 3

(b)

Fica esperto que agora não estamos mais falando da mesma variável, mas sim da média de uma amostra...

A distribuição normal pra média, tem o seguinte formato...

X ¯   ~   N o r m a l   μ , σ 2 n

A média é a mesma, e a variância a gente divide por n (número de elementos da amostra), que no caso é:

n = 8   a d u l t o s

Vamos ter a seguinte distribuição então:

X ¯   ~   N o r m a l   12 , 16 8

X ¯   ~   N o r m a l   12 ,   2

Passo 4

Agora a gente pode fazer o que o item pede, que é:

P X ¯ < 11 =   ?

Mesmo modo de resolver, primeiro padronizamos:

= P Z < 11 - 12 2

= P Z < - 0,71

Tiramos o sinal de negativo...

= P Z > 0,71

Concorda?

Que fica:

= 1 - P Z < 0,71

Aí é só procurar na tabela...

P Z < 0,71 = 0,7611

A resposta então é:

= 1 - 0,7611

= 0,2389

Passo 5

(c)

  1. Toma-se uma amostra de 6 adultos, qual a probabilidade do menos idoso na amostra exceder 15 anos de estudo?

Concorda comigo que dizer que o menos idoso vai exceder 15 anos de estudo, é a mesma coisa que falar que o mais novo vai estudar mais que 15 anos?

E nessa questão é esperado que a gente faça a seguinte análise: a idade das pessoas é proporcional ao tempo de estudo delas! Ou seja, pessoas mais velhas estudaram por mais tempo na vida que pessoas mais novas. Sacada chata né? Concordo!

Então, se queremos a probabilidade do mais novo ter estudado mais de 15 anos, em outras palavras, queremos a probabilidade de todos terem estudado mais que isso!

P m a i s   n o v o   e s t u d a r   m a i s   q u e   15 = P ( t o d o s   e s t u d a r e m   m a i s   q u e   15 )

Primeiro podemos calcular a probabilidade de uma pessoa estudar mais de 15 anos:

P ( X > 15 )

Padronizando e usando nossas propriedades da Normal temos...

P Z > 15 - 12 4 = P Z > 0,75 = 1 - P Z < 0,75 = 1 - 0,7734 = 0,2257

Mas nós temos 6 pessoas e queremos que todas elas estudem mais de 15 anos, então vamos ter essa probabilidade elevada a 6 :

P t o d o s   e s t u d a r e m   m a i s   q u e   15 = 0,2257 6 = 0,000132

Resposta

a ≅ 0,2902

b   0,2389

c 0,000132

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