Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

P2-2017/1 UFRJ Questão 1

Um caminhão pode transportar uma carga máxima de três toneladas. Sua carga é composta por caixas transportando dois tipos de produtos, tipo A e tipo B. Suponha que o peso de caixas com produto do tipo A tenha distribuição normal com média 50 kg e variância 25 kg² e que o peso de caixas com produto do tipo B tenha distribuição normal com média 38 kg e variância 16 kg². Suponha ainda que pesos de caixas distintas sejam independentes.

a) Calcule a média e variância da carga tranportada quando o caminhão é carregado com 25 caixas com produto do tipo A e 45 com caixas com produto do tipo B.

b) Com a mesma carga descrita no item (a), calcule a probabilidade do caminhão ter sido carregado com uma carga superior a máxima permitida.

c) Se o caminhão só for carregado com produto do tipo A, qual o maior número de caixas que ele pode transportar de modo que a probabilidade de exceder a carga máxima seja inferior a 2%.

Passo 1

a) Calcule a média e variância da carga tranportada quando o caminhão é carregado com 25 caixas com produto do tipo A e 45 com caixas com produto do tipo B.

Aqui vamos usar a propriedade de que a média da soma de variáveis aleatórias independentes é igual a soma das médias, e a variância é igual a soma das variâncias.

μ = 25 × 50 + 45 × 38 = 2960 k g

σ 2 = 25 × 25 + 45 × 16 = 1345 k g ²

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Com a mesma carga descrita no item (a), calcule a probabilidade do caminhão ter sido carregado com uma carga superior a máxima permitida.

Como fizemos a soma de variáveis aleatórias independentes com distribuição normal, continuamos numa distribuição normal. Sendo assim, temos uma v.a. X que segue uma normal com parâmetros μ = 2960 e σ = 1345 .

Ele pede pra gente a probabilidade do caminhão ter sido carregado com uma carga superior à carga máxima, ou seja:

P X > 3000 = P X - 2960 1345 > 3000 - 2960 1345 = P Z > 1,09 = 1 - P Z < 1,09

Procurando na nossa querida tabela normal e substituindo os valores, temos:

1 - P Z < 1,09 = 1 - 0,8621 = 0,1379

Passo 3

c) Se o caminhão só for carregado com produto do tipo A, qual o maior número de caixas que ele pode transportar de modo que a probabilidade de exceder a carga máxima seja inferior a 2%.

Bom, essa é a letra mais chatinha da questão, vamos por partes.

Primeiro, vamos chamar de k o número máximo de caixas que podem ser transportadas.

Agora, vamos criar uma v.a. Y :

Y = c a r g a   t r a n s p o r t a d a   c o m   k   c a i x a s

Como estamos falando do produto A, sabemos então que essa v.a. Y tem distribuição normal com média 50 k e variância 25 k (simplesmente multiplicamos os parâmetros que o enunciado deu para caixas com produto A pela quantidade de caixas, que chamamos de k ).

Y ~ N o r m a l ( μ = 50 k , σ = 25 k )

Passo 4

Agora vamos escrever outra coisa que o enunciado falou pra gente. Ele quer que a probabilidade de exceder a carga máxima seja inferior a 2%, ou seja:

P ( Y > 3000 ) ≤ 0,02

Se padronizarmos isso aí, ficamos com:

P Z > 3000 - 50 k 5 k ≤ 0,02

1 - P Z < 3000 - 50 k 5 k ≤ 0,02

Isolando nossa probabilidade acumulada, ficamos com:

P Z < 3000 - 50 k 5 k ≥ 0,98

Se formos lá na nossa querida tabela normal, vamos encontrar que o valor de z que nos dá 0,98 de probabilidade é 2,05.

Como queremos valores de z que me dêem probabilidades maiores que 0,98 temos que:

3000 - 50 k 5 k ≥ 2,05

Passo 5

Agora ficamos com uma inequaçãozinha que é aparentemente bem chata, mas calma, vamos resolver isso.

Como temos uma função decrescente, vamos olhar apenas para a maior raiz!

E pra resolver, vamos chamar k = w ² , pra tirar essa raiz do denominador.

Ficamos então com:

3000 - 50 w 2 5 w = 2,05

50 w ² + 10,25 w - 3000 = 0

Resolvendo isso aí:

w = - 10,25 + 10,25 ² + 4 × 50 × 3000 2 × 50

Note que eu nem considerei o ± na fórmula de bhaskara, já que estamos apenas interessados na maior raiz!

Resolvendo isso aí, encontramos w = 7,64 .

Como k = w ² , temos que k = 7,64 2 = 58   c a i x a s

Resposta

a) μ = 2960 k g e σ ² = 1345 k g ²

b) 0,1379

c) 58 caixas

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