Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

Distribuição Normal

Suponha que o peso X de uma pessoa selecionada ao acaso de uma certa população distribui-se normalmente com média µ e variância σ ² . Suponha também que P ( X < 80 ) = 1 / 2 e P ( X < 60 ) = 1 / 4 .

  1. Obtenha µ e σ ² e calcule P ( X ≥ 100 ) .
  2. Dentre todas as pessoas pesando no mínimo 100 quilos, qual percentual pesará mais de 120 quilos?
  3. Tomamos uma amostra de 5 pessoas dessa população. Qual a probabilidade de que exatamente 3 delas pesem mais do que 60 quilos?

Passo 1

(a)

Do enunciado a gente sabe que:

X   ~   N o r m a l   μ , σ 2

E duas probabilidades:

P X < 80 = 0,5

X < 60 = 0,25

Vamos usar essas duas...

P X < 80 = 0,5

Padronizando...

P X < 80 = P Z < 80 - μ σ = 0,5

O z que nos dá 0,5 de prob. na tabela é o z = 0,00 ... daí

80 - μ σ = 0 → 80 - μ = 0

μ = 80

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para descobrir σ ² vamos usar a outra informação.

P X < 60 = P Z < 60 - 80 σ = 0,25

O z que nos dá 0,25 de prob. é o z = - 0,67 .... se você observar na tabela o z = 0,67 dá próximo a 0,75 e esses valores são simétricos... então só trocar o sinal.

- 20 σ = - 0,67

σ = 20 0,67

σ = 29,85

Passo 3

Agora que a gente sabe tudo, calculamos:

P X > 100 = P Z > 100 - 80 29,85

= P Z > 0,67

= 1 - P Z < 0,67

Olhando na tabela:

P Z < 0,67 ≅ 0,75

Daí:

P X > 100 = 1 - 0,75

= 0,25

Passo 4

(b)

Aqui temos que calcular a prob. condicional de uma pessoa ter mais de 120 k g , já sabendo que ela tem mais de 100 k g .

P X > 120 X > 100 =   ?

Usando a fórmula da prob. condicional:

= P X > 120 ∩ X > 100 P X > 100

Show?

Daí, a interseção de X > 120 com X > 100 é exatamente X > 120 , certo? Todo número maior que 120 automaticamente é maior que 100 também.

Aí fica:

= P X > 120 P X > 100

O valor de baixo a gente já conhece, falta calcular o de cima.

Passo 5

Calcular P X > 120 ...

P X > 120 = P Z > 120 - 80 29,85

= P Z > 1,34

Pelos nossos conhecimentos da Normal:

= 1 - P Z < 1,34

Olhando na tabela:

P Z < 1,34 = 0,9099

E daí:

P X > 120 = 1 - 0,9099

= 0,0901

Passo 6

Agora a gente junta...

P X > 120 P X > 100 = 0,0901 0,25

= 0,3604

Passo 7

(c)

Primeiro... qual a probabilidade de alguém pesar mais de 60 k g ? A gente sabe que a prob. de pesar menos é:

P X < 60 = 0,25

Então:

P X > 60 = 1 - 0,25 = 0,75

Passo 8

Aí pensa comigo vamos ter 5 pessoas (todas independentes e com a mesma prob. de pesar mais de 60 k g ) e queremos a prob. de 3 delas pesarem mais.

Isso é Binomial, concorda?

Digamos que:

Y → n º   d e   p e s s o a s ,   d e n t r e   a s   5 ,   q u e   p e s a m   m a i s   d e   60 k g

n = 5   p e s s o a s

p = 0,75

Y   ~   B i n o m i a l   5   ; 0,75

E queremos:

P X = 3 =   ?

Passo 9

Pra calcular isso, só usar a função de probabilidade da Binomial.

P X = 3 = 5 3 . 0,75 3 . 0,25 2

≅ 0,264

Resposta

a   μ = 80   ,   σ = 29,85   e   P X > 100 = 0,25

b   0,3604

c   0,264

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