Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

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Enunciado

Suponha que as notas obtidas pelos alunos num exame nacional sejam normalmente distribuídas com média 500 e desvio padrão 150 .

  1. Determine a porcentagem de alunos com notas superiores a 600 .
  2. Se as notas de cinco desses alunos forem sorteadas, qual a probabilidade de que ao menos duas sejam superiores a 600 ?

Passo 1

(a)

Vamos chamar de:

X → n o t a s   o b t i d a s   p e l o s   a l u n o s   n o   e x a m e   n a c i o n a l

O enunciado diz que:

X   ~   N o r m a l   500   ; 150 2

Certo? Uma distribuição normal com média μ = 500 e desvio padrão σ = 150 .

Passo 2

Temos que calcular a porcentagem de alunos com notas acima de 600 :

P X > 600 =   ?

Tranquilo! Vamos padronizar primeiro...

P X > 600 = P Z > 600 - 500 150

= P Z > 0,67

Usando nossos conhecimentos da Normal...

= 1 - P Z < 0,67

Usando a tabela:

P Z < 0,67 = 0,7486

Daí:

P X > 600 = 1 - 0,7486

= 0,2514

Passo 3

(b)

Vamos sortear a nota de 5 alunos e analisar quantos tiraram mais de 600 .

Considerando como sucesso o aluno tirar mais que 600 , a gente conhece a prob. desse sucesso, porque foi o que a gente calculou em (a).

p = 0,2514

A gente vai repetir o mesmo experimento (sortear um aluno) cinco vezes, todas as vezes com a mesma probabilidade de sucesso ( p = 0,2514 )... isso é o que? Binomial.

Y → n º   d e   n o t a s   m a i o r e s   q u e   600 ,   d e n t r e   5   s o r t e a d a s

Y   ~   B i n o m i a l   5   ; 0,2514

Passo 4

Queremos a prob. de pelo menos 2 alunos tirarem mais que 600 , dentre os 5 ...

P Y ≥ 2 =   ?

Que é a mesma coisa que:

= 1 - P Y = 0 + P Y = 1

A prob. de pelo menos duas notas maiores que 600 é um menos a prob. de não termos nenhuma nota maior que 600 ou apenas uma.

Pra calcular essas probabilidades a gente vai usar a fórmula da Binomial.

P Y = k = n k p k 1 - p n - k

Passo 5

Calculando:

P Y = 0 = 5 0 . 0,2514 0 . 0,7486 5

≅ 0,235

P Y = 1 = 5 1 . 0,2514 1 . 0,7486 4

≅ 0,395

Daí fica:

= 1 - 0,235 + 0,395

≅ 0,37

Resposta

a   0,2514

b   0,37

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