13) Dimensione o comprimento médio de uma prateleira para acomodar 10 latas quadradas de tinta que tem larguras normais de valor esperado 20   c m e desvio padrão 2,5 . Deseja-se que as latas escolhidas aleatoriamente (de forma independente) caibam na prateleira e que a probabilidade de deixarem uma folga menor que 5   c m entre a última lata e o final da prateleira seja menor que 0,025 . Admita que as latas foram encostadas à esquerda no início da prateleira.

a) 202,5 0

b) 205,0 0

c) 225,0 0

d) 200,0 0

e) 235,99

Passo 1

Faaaala galerinha do Responde Aí, como é que vocês estão? Tudo certinho?

Essa questão é muuuuito interessante, e um tanto quanto difícil haha. Mas vamo junto comigo que vai ficar facinho facinho 😉

Basicamente, temos latas quadradas de tinta que seguem uma distribuição normal, com média de 20   c m e desvio padrão de 2,5 .

Daí, resolve-se criar uma prateleira pra acomodar 10 dessas latas, que serão escolhidas aleatoriamente, de modo que a probabilidade de haver uma folga menor que 5   c m seja menor que 0,025 . Bora esquematizar essa situação pra facilitar um pouco o entendimento.

Essa é uma visão superior da prateleira. L i representa cada uma das 10   latas colocadas, o comprimento total delas é dado por L L . Já L P é a variável aleatória que representa o tamanho da prateleira.

Consideramos uma folga de 5   c m , nesse caso podemos considerar que:

P L P - 10 L L < 5 < 0,025

Eaí, conseguiram entender o que tá acontecendo?

Show! Vamo simbora!

Passo 2

Bom, precisamos calcular o comprimento médio de L P . Mas, qual que é a distribuição dessa variável aleatória?

Como L P está relacionado com o tamanho das latas, usando o teorema central do limite, podemos afirmar que L P também segue uma distribuição normal.

Assim, podemos chamar:

I = L P - 10 L L

Consequentemente, I também será uma variável aleatória com distribuição normal, pois é a combinação de duas V.A’s normais. Sacaram?

Daí, temos que:

P L P - 10 L L < 5 = P ( I < 5 )

Como seguem uma distribuição normal, podemos buscar a distribuição padrão, normalizando. Daí:

Z < 5 - E I σ I

Massa! Então, precisamos determinar E ( I ) e σ I né?!

Pelas propriedades da esperança, sabemos que:

E a X + b Y = a E X + b E Y

Logo, para I vamos ter:

E I = E L P - 10 L L

⇒ E I = E L P - 10 E ( L L )

Mas, como é dito que que a largura média das latas é de 20   c m , vem:

E I = E L P - 200

Top! Também sabemos que:

V a r X =   σ X 2

E que:

V a r a X + b Y = a 2 V X + b 2 V Y

Daí, vem:

V a r I = V a r L P - 10 L L

V I = 1 ⋅ V L P + 100 V ( L L )

No enunciado é falado que σ L P = 2,5 . Como V L L = σ L P 2 , vem:

V I = σ L P 2 + 100 ⋅ 2,5 2

V I = σ L P 2 + 250

Po, até agora tudo beleza, mas e pra determinar σ L P , o que podemos fazer?

Hahaha. Essa sacada é bem interessante. Pensa comigo, pra gente ter um desvio padrão precisamos ter vários elementos em uma amostra, mas nessa situação temos apenas uma prateleira. Ou seja, temos:

σ L P = 0

Excelente! Substituindo lá em cima, temos:

V I = 0 + 250

Daí:

σ I 2 = 250

∴   σ I = 10 2,5

Prontinho!!

Passo 3

c) Agora já podemos calcular Z :

Z < 5 - E L P - 200 10 2 , 5

Para esse valor de Z devemos ter que:

P Z < 5 - E L P - 200 10 2 , 5 < 0,025

Daí, consultando a tabela normal, na igualdade vamos ter que:

Z =   - 1,96

Logo:

- 1,96 =   5 - E L P - 200 10 2 , 5

⇒ 10 2,5 ⋅ - 1,96 = 205 - E ( L P )

Isolando E ( L P ) , temos:

E L P = 205 + 1,96 ⋅ 10 ⋅ 2,5

∴ E L P = 235,99   c m  

É isso galera, gostaram?

Essa questão é bem complicadinha, tem umas passagens um pouco complicadas, mas espero que tenha ficado bem claro pra vocês! Até a próxima 😉

Resposta

Letra E: 235,99 .

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