Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

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Enunciado

Suponhamos que o nível educacional de adultos de um certo país, apresenta distribuição normal com média de 9 anos e variância de 16 anos², determine:

  1. A probabilidade de que um adulto escolhido aleatoriamente, tenha entre 8 e 15 anos de tempo de estudo.
  2. Toma-se uma amostra de 8 adultos, qual a probabilidade da média desta amostra ser menor que 7 anos?
  3. Toma-se uma amostra de 8 adultos, qual a probabilidade do que tem menos anos de estudo desta amostra exceder 14 anos de estudo?
  4. Quantos anos de estudo um adulto deve ter, para estar dentre os 4% que mais tempo tem de estudo?

Passo 1

(a)

Se a gente tiver uma v.a. X que represente o nível educacional de adultos desse país, de acordo com o enunciado, podemos dizer que essa v.a. é:

X   ~   N o r m a l   9,16

Primeiro temos que calcular a probabilidade de os adultos terem entre 8 e 15 anos de tempo de estudo.

P 8 < X < 15 = P 8 - 9 4 < Z < 15 - 9 4

= P - 0,25 < Z < 1,5

= P Z < 1,5 - P Z < - 0,25

= P Z < 1,5 - 1 - P Z < 0,25

Olhando na tabela:

= 0,9332 - 1 + 0,5987

= 0,5319

Passo 2

(b)

Agora temos uma amostra de 8 adultos e queremos ver a probabilidade da média dos tempos de estudo deles x ¯ ser menor que 7 anos.

A gente sabe que uma média amostral, x ¯ , tem distribuição...

X ¯   ~   N o r m a l   μ , σ 2 n

Já que cada aluno segue a distribuição dada no enunciado.

Aplicando isso...

X ¯   ~   N o r m a l   9 , 16 8

X ¯   ~   N o r m a l   9,2

Passo 3

Calcular:

P X ¯ < 7 = P Z < 7 - 9 2

= P Z < - 1,42

= 1 - P Z < 1,42

Olhando na tabela, cruzando a linha 1,4 com a coluna 0,02 .

= 1 - 0,9222

= 0,0778 ≅ 7,8 %

Passo 4

(c)

Tá a gente tem o peso dos 8 adultos → X 1 ,   X 2 , … , X 8

Vamos dizer que V = m i n   ( X 1 , X 2 , … , X 25 ) .

A gente quer calcular P ( V > 14 ) , o que tem menos tempo de estudo, exceda 14   anos.

P V > 14 = P X 1 > 14   e   X 2 > 14   e …   X 8 > 14

= P X i > 14 8

Concorda? É o mesmo que calcular a probabilidade de cada um deles ter tempo de estudo maior que 14 anos e multiplicar essas probabilidades.

Passo 5

P X i > 14 = P Z > 14 - 9 4

= P Z > 1,25

= 1 - P Z < 1,25

Cruzando a linha 1,2 com a coluna 0,05.

= 1 - 0,8944

= 0,1056

Terminando...

P V > 14 = P X i > 14 8

= 0,1056 8

≅ 1,54 × 10 - 8

Passo 6

(d)

P X > x = 0,04

x representa o tempo em anos que os adultos tem que ter para estarem entre os 4 % com mais tempo de estudo, pois a probabilidade de alguém ter mais tempo que esse é exatamente 0,04 .

P Z > x - 9 4 = 0,04

1 - P Z < x - 9 4 = 0,04

P Z < x - 9 4 = 0,96

z = 1,75

x - 9 4 = 1,75

x = 16   a n o s

Resposta

a   53,19 %

b ≅ 7,8 %

c   ≅ 1,54 × 10 - 8

d   16   a n o s

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