Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

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Enunciado

Sabe-se que a duração em quilômetros rodados de pneus da marca A é normal. Um revendedor de pneus, para efeitos de garantia, quer calcular a probabilidade de que um pneu dessa marca dure mais de 55.000 quilômetros, mas não conhece os parâmetros média (µ) e desvio-padrão (σ) dessa distribuição normal. Com base em seus registros ele verificou que 21% desses pneus duram pelo menos 48.100 quilômetros; e 1% desses pneus dura no máximo 16.700 quilômetros.

a) Usando as informações do revendedor, calcule µ e σ.

b) Calcule a probabilidade de que um pneu da marca A dure mais do que 55.000 quilômetros.

Passo 1

Sempre que estivermos em questões de normal, não pense duas vezes: desenhe! É a melhor forma de entender o problema.

Desenhando, teríamos isso:

Nosso parâmetro μ é desconhecido, e sabemos que ele é o valor central.

Além disso, temos que marcar os valores que a questão deu pra gente. Ele fala que 1% dos pneus dura no máximo 16700 km, ou seja, a probabilidade até esse valor é 0,01. Depois disso, temos a informação que 21% dos pneus duram pelo menos 48100 km, então a probabilidade acima desse valor é 0,21.

Passo 2

a) Usando as informações do revendedor, calcule µ e σ.

Considerando nossa v.a. X = d u r a ç ã o   e m   k m   r o d a d o s   d e   p n e u s   d a   m a r c a   A e pelo desenho que a gente acabou de fazer, sabemos que:

P X < 48100 = 0,79

Porém, não podemos trabalhar com isso desse jeito: precisamos padronizar!

Assim, ficaríamos com:

P Z < 48100 - μ σ = 0,79

Agora temos que ir lá na nossa tabela normal, e procurar qual valor me dá probabilidade 0,79. O valor que encontramos na tabela é aproximadamente 0,81. Ou seja:

48100 - μ σ = 0,81

48100 - μ = 0,81 σ

Passo 3

Agora vamos repetir o mesmo passo a passo que fizemos anteriormente, só que olhando pro 16700.

P X < 16700 = 0,01

Padronizando isso aí...

P Z < 16700 - μ σ = 0,01

Só que aqui tem um bizu: nossa tabela não tem esse valor de 0,01 de probabilidade! Vamos inverter e pegar o complementar.

P Z < μ - 16700 σ ≈ 0,99

Agora sim, se formos na nossa tabela, o valor que nos dá 0,99 de probabilidade é o 2,33. Logo, temos que:

μ - 16700 σ = 2,33

μ - 16700 = 2,33 σ

Passo 4

Ficamos então com o seguinte sisteminha:

48100 - μ = 0,81 σ μ - 16700 = 2,33 σ

Somando as duas equações, temos que:

31400 = 3,14 σ

σ = 10000

E, temos que nosso μ vale 40000.

Passo 5

b) Calcule a probabilidade de que um pneu da marca A dure mais do que 55.000 quilômetros.

Ele quer basicamente essa probabilidade:

P ( X > 55000 )

Precisamos só padronizar isso e resolver:

P Z > 55000 - 40000 10000 = P Z > 1,5 = 1 - P Z < 1,5 = 1 - 0,9332 = 0,0668

Resposta

a) μ = 40000 e σ = 10000

b) 0,0668

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