Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

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Enunciado

Uma indústria de manufatura produz peças cujo diâmetro tem a seguinte especificação nominal D i   ~   N o r m a l   200 m m ; 100 m m 2 . Pede-se:

  1. Qual a probabilidade de uma peça selecionada ao acaso, ter diâmetro entre 190 e 197   m m .
  2. Um comprador destas peças acertou a compra de um lote de 30 peças. Qual a probabilidade da média dos diâmetros deste lote (denotada por D ¯ ) ser D ¯ ≥ 204 m m ?
  3. Deste mesmo lote adquirido pelo fabricante, qual a probabilidade do maior dos diâmetros de todas as 30 peças ser superior a 212   m m ?

Passo 1

(a)

O exercício da uma v.a. com distribuição normal:

D i   ~   N o r m a l   200 m m ; 100 m m 2

E pede primeiro que a gente calcule:

P 190 < D < 197 =   ?

Primeiro padronizamos pra normal:

= P 190 - 200 10 < Z < 197 - 200 10

= P - 1 < Z < - 0,3

Vou dar uma ilustrada pra você ver se tá acompanhando direitin...

Passo 2

Aplicamos nossos conhecimentos da normal pra usar a tabela:

= P Z < - 0,3 - P Z < - 1

Trocando os sinais, já que não temos números negativos na tabela...

= P Z > 0,3 - P Z > 1

Graficamente fica mais fácil ainda de ver...

Invertendo pra gente usar a tabela que dá valores de P Z < … ...

= 1 - P Z < 0,3 - 1 - P Z < 1

= - P Z < 0,3 + P Z < 1

Procurando na tabela:

= - 0,6179 + 0,8413

= 0,2234

Passo 3

(b)

Agora temos um lote (amostra) com trinta peças:

n = 30

E queremos uma probabilidade relacionada a média dos diâmetros dessa amostra D ¯ .

Essa média tem uma distribuição normal também, só que um pouco diferente né...

D ¯   ~   N o r m a l   μ ; σ 2 n

Que vai ser então:

D ¯   ~   N o r m a l   200 ; 100 30

Agora podemos calcular o que a gente quiser.

Passo 4

P D ¯ ≥ 204 =   ?

Padronizando...

= P Z > 204 - 200 10 30

= P Z > 2,19

= 1 - P Z < 2,19

Usando a tabela...

= 1 - 0,9857

= 0,0143

Passo 5

(c)

Pra calcular o que é pedido a gente pode começar calculando a probabilidade de todos os diâmetros serem menores que 212 m m .

A prob. de 1 diâmetro ser menor que 212 m m é dada por:

P D < 212 = P Z < 212 - 200 10

= P Z < 1,2

Pela tabela:

= 0,8849

Passo 6

A probabilidade das 30 peças terem diâmetro menor que 212 m m será então:

= 0,8849 30

Com isso, a prob. que a gente quer vai ser 1 menos isso, concorda? A prob. do maior ser maior que 212 m m é 1 menos a prob. de ninguém ser maior que esse valor.

= 1 - 0,8849 30

= 0,9745

Resposta

a   0,2234

b   0,0143

c   0,9745

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