Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

Um produto pesa em média 50 g com desvio padrão de 2 g . Esse produto é embalado em caixas com 150 unidades. Sabe-se que as caixas vazias pesam em média 500 g com desvio padrão de 5 g . Admitindo-se que os pesos das caixas e dos produtos sejam independentes entre si e modelados pela distribuição normal, responda:

  1. A área de controle de qualidade da produção detecta a existência de não conformidades a partir do peso das caixas cheias. Ela tolera um erro de mais ou menos 0,7 % com relação ao valor médio da caixa cheia. Calcule a probabilidade de termos uma caixa fora do intervalo de conformidade.
  2. Assumindo uma amostra de m caixas cheias, qual a probabilidade do maior peso dentro desta amostra exceder a média de uma caixa cheia? Calcule para m = 2 ; 3 e 10 .

Passo 1

Vamos supor que T represente o peso total da caixa de peso C com 150 unidades do produto de peso P :

T = 150 P + C

“Aplicando” esperança dos dois lados:

E T = 150 E P + E C = 150 × 50 + 500 = 8000

E agora variância:

V a r T = 150 2 V a r P + V a r C = 150 2 × 2 2 + 5 2 = 90025

D P T ≅ 300,04

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

i.

O erro tolerável é de mais ou menos 0,007 do peso médio da caixa cheia, ou seja, E ( T ) :

0,007 E T = 0,007 × 8000 = 56

Então o intervalo de conformidade é 8000 - 56   ; 8000 + 56 = [ 7944 ; 8056 ]

A probabilidade da caixa cheia estar nesse intervalo é portanto:

P ( 7944 < T < 8056 )

Mas nós queremos a probabilidade da caixa não estar no intervalo, então trabalhamos com a complementar:

1 - P ( 7944 < T < 8056 )

Sabemos que T ~ N o r m a l ( 8000 ; 300,04 2 ) , então vamos padronizar essa probabilidade:

1 - P 7944 - 8000 300,04 < Z < 8056 - 8000 300,04 = 1 - P - 0,19 < Z < 0,19

Abrindo essa probabilidade em duas:

1 - P Z < 0,19 - P Z < - 0,19

Nos livrando do sinal de ali dentro:

1 - P Z < 0,19 - P Z > 0,19

1 - P Z < 0,19 - 1 - P Z < 0,19

Procurando Φ ( 0,19 ) na tabela temos que z = 0,5753 :

1 - 0,5753 - 1 - 0,5753 = 0,8494

Passo 3

ii.

Primeiro vamos calcular a probabilidade de o peso T de uma caixa cheia valer mais que sua média 8000 , padronizando:

P T > 8000 = P Z > 8000 - 8000 300,4 = P Z > 0 = 0,5

E como esperado, a probabilidade de qualquer variável que segue uma distribuição Normal ser maior que a sua própria média é de 50%, basta pensarmos na curva simétrica dela, que tem metade da sua área igual a 0,5 .

Agora pensa comigo...

Falar que o maior peso deve exceder a média é a mesma coisa que falar que pelo menos um dos pesos vai exceder a média, certo? Já que pelo menos um deles tem que valer mais que 8000 , pelo menos o maior de todos. Mas pode ser que todas as caixas excedam o valor da média também!

Então, começando pelo caso m = 2 , lembrando que nossa média é 8000 g :

P m a i o r   p e s o > 8000 = P p e l o   m e n o s   u m a > 8000

= P u m a   c a i x a > 8000 + P ( d u a s   c a i x a s > 8000 )

E isso aí vale...

= P T > 8000 + P T > 8000 × P T > 8000

= 0,5 + 0,5 2 = 0,75

O que nos leva a encontrar uma fórmula geral para o cálculo dessa probabilidade, entre   m caixas totais:

= ∑ i = 1 m 0,5 i

Agora calculamos para m = 3 :

P u m a ,   d u a s   o u   t r ê s   c a i x a s > 8000 = ∑ i = 1 3 0,5 i

= 0,5 + 0,5 2 + 0,5 3

= 0,875

Agora finalmente para m = 10 :

P u m a ,   d u a s ,   t r ê s , … d e z   c a i x a s > 8000 = ∑ i = 1 10 0,5 i

= 0,5 + 0,5 2 + 0,5 3 + 0,5 4 + 0,5 5 + 0,5 6 + 0,5 7 + 0,5 8 + 0,5 9 + 0,5 10

≅ 0,9990

Resposta

i)

0,8494

ii)

m = 2 → 0,75

m = 3 → 0,875

m = 10 → 0,9990

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