Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

Probabilidade e Estatística – PUC RJ – 2019.1 – P4 – Questão 5

Um determinado posto de gasolina vende quatro tipo de produto: etanol, gasolina comum, gasolina aditivada e gasolina premium. Elas custam R$ 1,80, R$ 3,40, R$ 4,00 e R$ 4,80 por galão respectivamente e sejam X 1 , X 2 , X 3 e X 4 os consumos desses galões comprados em um dia específico. Suponha que os X i ’s sejam independentes com:

- Média: μ 1 = 2000 , μ 2 = 1000 , μ 3 = 800 e μ 4 = 400 ;

- Desvio padrão: σ 1 = 25 , σ 2 = 10 , σ 3 = 15 e σ 4 = 18 .

A receita das vendas é Y = 1,80 X 1 + 3,40 X 2 + 4,00 X 3 + 4,80 X 4 . Suponha que os consumos dos combustíveis seguem uma distribuição normal. Pede-se:

a) Calcule o valor esperada e variância da receita das vendas E Y ; V a r Y .

b) Considerando que os valores do item anterior correspondem: E Y = μ Y e V a r Y = σ Y 2 , calcule a probabilidade de a receita das vendas estar entre R$11800 e R$ 12300?

Passo 1

Para resolver esse problema você deve lembrar o seguinte. Considere uma variável Y :

Y = a X 1 + b X 2 + c X 3 + d X 4

O valor esperado de Y será

E Y = a E X 1 + b E X 2 + c E X 3 + d E X 4

Já para a variância, temos

V a r Y = a 2 V a r X 1 + b 2 V a r X 2 + c 2 V a r X 3 + d 2 V a r X 4

É só usar essas expressões que resolvemos o item (a)!

E Y = 1,80 ⋅ 2000 + 3,40 ⋅ 1000 + 4,00 ⋅ 800 + 4,80 ⋅ 400

V a r Y = 1,80 2 ⋅ 25 2 + 3,40 2 ⋅ 10 2 + 4,00 2 ⋅ 15 2 + 4,80 2 ⋅ 18 2

Portanto,

E Y = 12120         e         V a r Y = 14245,96

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para o item (b), queremos calcular a probabilidade:

P 11800 < Y < 12300 =   ?

A primeira coisa que devemos olhar é se a distribuição de Y é normal. Como as distribuições de X i são normais e a soma de distribuições normais é normal, podemos usar uma distribuição normal para olhar para a variável Y !

Para resolver esse problema, fazemos a mudança de variável:

Z = Y - μ Y σ Y = Y - 12120 14245,96

Para Y = 11800 :

Z = - 2,68

Já para Y = 12300 :

Z = 1,51

Portanto,

P 11800 < Y < 12300 = P - 2,68 < Z < 1,51

Passo 3

Para calcular essa probabilidade, usamos a função probabilidade acumulada:

P - 2,68 < Z < 1,51 = P - ∞ < Z < 1,51 - P - ∞ < Z < - 2,68

Olhando na tabela fornecida na prova, é fácil ver que P - ∞ < Z < 1,51 = 0,9345 .

Para achar P - ∞ < Z < - 2,68 o trabalho é um pouco mais complicado. Primeiro escrevemos:

P - ∞ < Z < - 2,68 = P Z > 2,68

Podemos fazer isso pois a distribuição é simétrica em torno de Z = 0 . Além disso,

P Z > 2,68 = 1 - P - ∞ < Z < 2,68

Portanto,

P - ∞ < Z < - 2,68 = 1 - P - ∞ < Z < 2,68

Partimos para a tabela:

Achamos que P - ∞ < Z < 2,68 = 0,9963 , de modo que

P - ∞ < Z < - 2,68 = 1 - 0,9963 = 0,0037

Passo 4

Voltando para

P - 2,68 < Z < 1,51 = P - ∞ < Z < 1,51 - P - ∞ < Z < - 2,68

Vimos no passo 3 que P - ∞ < Z < 1,51 = 0,9345 e P - ∞ < Z < - 2,68 = 0,0037 , de modo que

P - 2,68 < Z < 1,51 = 0,9345 - 0,0037 = 0,9308

Portanto,

P 11800 < Y < 12300 = 0,9308

Com isso nós fechamos o problema 😊.

Resposta

a) E Y = 12120         e         V a r Y = 14245,96 .

b) P 11800 < Y < 12300 = 0,9308 .

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