Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

Distribuição Normal

Os resultados de um certo teste psicológico que mede a ansiedade em uma população de alunos universitários da PUC, é uma variável aleatória Normal com média 35 e variância 81 . Baseado nesta informação, responda as questões seguintes:

  1. Quer-se classificar a população em quatro categorias iguais, quais serão as pontuações que delimitam esses grupos?
  2. Se os 5 alunos matriculados em engenharia que fazem a matéria de PROBEST passarem no teste, qual é a probabilidade que tenham tido uma pontuação media acima de 30 ?
  3. Qual a probabilidade de um aluno selecionado ao acaso, medir entre 30 e 43 .

Passo 1

(a)

Os dados do exercício nos levam pra uma distribuição Normal, com:

X   ~   N o r m a l   35,81

X → v.a. que representa o resultado dos testes de ansiedade.

Pra dividir a população em quatro categorias, precisamos calcular os três quartis, que dividem em 25 % ,   50 % , 75 % .

Que aí teremos os grupos:

< 25 %

25 % < x < 50 %

50 % < x < 75 %

> 75 %

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Passo 2

Pra cada um deles vamos usar uma continha de probabilidade da Normal.

P X < x = 0,25

Padronizando:

P Z < x - 35 9 = 0,25

Qual o valor de z na tabela da normal que nos dá 0,25 de probabilidade?

Concorda que vai ser - 0,67 , usando o valor mais próximo de 0,25 que tem na tabela.

Com isso a gente tem que:

x - 35 9 = - 0,67

x ≅ 28,97

Passo 3

Vamos usar o mesmo raciocínio para calcular os outros dois valores que faltam:

P X < x = 0,50

P Z < x - 35 9 = 0,50

Usando a tabela a gente vê que pra termos 0,50 de probabilidade então z = 0,00 .

Com isso:

x - 35 9 = 0

x = 35

Esse valor corresponde a mediana, que é o valor central da distribuição, já era de se esperar que desse 35 que é exatamente o valor da média da distribuição.

Passo 4

E pra fechar:

P X < x = 0,75

P Z < x - 35 9 = 0,75

Procurando na tabela pelo   0,75 ou o mais próximo disso:

x - 35 9 = 0,67

x = 41,03

Esses são os três valores que dividem a distribuição em quatro categorias.

Passo 5

(b)

Temos uma amostra com n = 5 alunos que passaram no teste, queremos calcular a probabilidade da pontuação média desses alunos ter sido acima de 30 .

Primeiro a gente tem que pensar que agora estamos falando de X ¯ , e com isso teremos uma distribuição Normal pra uma média, que não é mais igual aquela ali de cima, agora teremos:

X ¯   ~   N o r m a l   35 ; 81 5

Dividimos a variância pelo n .

Passo 6

Agora podemos calcular:

P X ¯ > 30 =   ?

Padronizando:

P Z > 30 - 35 9 5 =   ?

P Z > - 1,24 =   ?

Usando nossos conhecimentos da Normal...

= P Z < 1,24

Invertemos os dois sinais.

Aí agora é só olhar na tabela...

= 0,8925

Passo 7

(c)

Agora é mais simples, vamos calcular:

P 30 < X < 43 =   ?

Padronizando:

P 30 - 35 9 < Z < 43 - 35 9 =   ?

= P - 0,56 < Z < 0,89

= P Z < 0,89 - P Z < - 0,56

Eliminar o sinal de negativo:

= P Z < 0,89 - P Z > 0,56

= P Z < 0,89 - 1 - P Z < 0,56

Agora olhamos tudo na tabela:

= 0,8133 - 1 - 0,7123

= 0,5256

Resposta

a   28,97     ;     35     ;     41,03

b   0,8925

c   0,5256

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