Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

Teorema Central do Limite

X 1   e X 2   representam os valores (em reais) que as ações A1 e A2, respectivamente, terão daqui a um ano. Como sabemos, o comportamento caótico da bolsa de valores implica que X 1   e X 2 podem ser considerados aleatórios. Suponha, mais especificamente, que:

  1. X 1 é modelada por uma distribuição Normal com média de 30 reais e variância de 100 reais²;
  2. X 2 é modelada por uma distribuição Normal com média de 60 reais e variância de 400 reais²; e
  3. as cotações dessas duas ações são independentes.

Um investidor comprou hoje 300 ações A1 a 25 reais cada uma, e 200 ações A2 a 40 reais cada uma.

  1. Quais são a distribuição, a esperança e o desvio padrão do valor total que a carteira de ações deste investidor terá dentro de um ano?
  2. Qual é a probabilidade de que essa a carteira de ações tenha se valorizado em pelo menos 50% depois de um ano?

Passo 1

(a)

Vamos chamar de:

Y :   valor total do portifólio

De acordo com o enunciado:

Y = 300 X 1 + 200 X 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calcular E ( Y ) .

E Y = E 300 X 1 + 200 X 2

E Y = 300 E X 1 + 200 E X 2

Sabendo que E X 1 = 30 e E X 2 = 60 :

E Y = 300 × 3 0 + 200 × 60

E Y = 21.000   reais

Passo 3

Calcular V a r Y .

V a r Y = V a r 300 X 1 + 200 X 2

V a r Y = 300 2 V a r X 1 + 200 2 V a r X 2

Sabendo que V a r X 1 = 100 e V a r X 2 = 400 .

V a r Y = 300 2 × 100 + 200 2 × 400

V a r Y = 25.000.000

Com isso.

D P Y = V a r Y

D P Y = 5.000   reais

Como Y é a soma de duas variáveis de distribuição Normal, então:

Y   ~   N o r m a l   21.000 ; 5.000 2

Passo 4

(b)

Primeiro a gente tem que saber quanto custou o portifólio no momento da compra. De acordo com o enunciado, o valor total foi:

300 × 25 + 200 × 40 = 15.500   reais

Pra acontecer valorização de pelo menos 50%. O portifólio tem que estar valendo depois de um ano o valor de:

1,5 × 15.500 = 23.250

Passo 5

Pra saber a probabilidade disso acontecer, a gente precisa calcular:

P Y ≥ 23.250

Padronizando...

P Y ≥ 23.250 = P Y - 21.000 5.000 > 23.250 - 21.000 5.000

= P Z > 0,45

= 1 - Φ 0,45

Se procurar na tabela, você vai ver que Φ 0,45 = 0,6736 .

Então:

P Y ≥ 23.250 = 1 - 0,6736

                                          = 0,3264

Resposta

b   0,3264

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