A duração ( Y ) de componentes eletrônicos é às vezes modelada pela densidade Rayleigh, mostrada a seguir.

f y = 2 y θ . e - y 2 θ       ,       o n d e   y > 0

Pede-se:

a) Determine a densidade da v.a. Z = 2 3 Y 2 .

b) Calcular P ( Z ≥ 5 ) , P ( 2 ≤ Z ≤ 4 ) e P ( - 2 ≤ Z ≤ - 1 ) , para θ = 2

Passo 1

(a)

Vamos usar os métodos que aprendemos pra esses casos.

Sabemos que:

f y = 2 y θ . e - y 2 θ

E que...

Z = 2 3 Y 2

Primeira coisa a fazer é inverter isso aí...

Y 2 = 3 2 Z

Y = 3 Z 2

Agora calculamos d Y d Z :

d Y d Z = d 3 2 ⋅ z 1 2 d z =

= 1 2 3 2 z - 1 2 = 3 8 z - 1 2 =

= 3 8 z

Pra terminar, usamos nosso método do jacobiano que diz..

g z = f y ⋅ d y d z

g ( z ) é a função de densidade de Z .

g z = 2 ⋅ 3 Z 2 θ ⋅ e - 3 Z 2   2 θ ⋅ 3 8 z

  g z = 3 2 θ . e - 3 z 2 θ

Passo 2

(b) Agora é a hora de calcular as probabilidades!

Pra ambos os casos, basta a gente integrar dentro do intervalo que ele tá pedindo.

Vamos calcular primeiro P ( Z ≥ 5 ) .

Nesse caso o intervalo será ( 5 , + ∞ ) .

P Z ≥ 5 = ∫ 5 + ∞ 3 2 θ . e - 3 z 2 θ   d z

= - e - 3 z 2 θ 5 + ∞ = e - 15 2 θ

Substituindo θ = 2 .

= e - 15 4 = 0,0235

Passo 3

Agora a mesma coisa para   P ( 2 ≤ Z ≤ 4 ) .

P ( 2 ≤ Z ≤ 4 ) = ∫ 2 4 3 2 θ . e - 3 z 2 θ   d z

= - e - 3 z 2 θ 2 4 = - e - 12 2 θ + e - 6 2 θ

Substituindo θ = 2 .

= - e - 12 2 θ + e - 6 2 θ = - e - 3 + e - 1,5

= 0,1733

Passo 4

Por último, calculemos P ( - 2 ≤ Z ≤ - 1 ) .

P - 2 ≤ Z ≤ - 1 = ∫ - 2 - 1 0   d z = 0

E nesse caso aí, a integral vai dar zero, porque entre - 2 e - 1 , a função vale zero.

g z = 0 → ∫ - 2 - 1 0   d z = 0 → P - 2 ≤ Z ≤ - 1 = 0

Resposta

a)

g z = 3 2 θ ⋅ e - 3 z 2 θ

b)

P Z ≥ 5 = 0,0235

P ( 2 ≤ Z ≤ 4 ) = 0,1733

P ( - 2 ≤ Z ≤ - 1 ) = 0

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