Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

Primeira Avaliação de Probabilidade e Estatistica UFRJ 2019.2

No processo de produção de vinho de uma determinada vinícola, a concentração total de açucares de todos os vinhos produzidos é assumida uma distribuição normal com média de 12   g / L e desvio padrão de 5   g / L . Um vinho é considerado seco se possui no máximo até 5   g / L de concentração de açúcar; meio doce (demi-sec) se possui concentração de açúcar entre 5 e 20   g / L ; e doce se possui concentração de açúcar maior que 20   g / L .

  1. Qual é a proporção de vinho do tipo seco produzido pela vinícola?
  2. Entre os vinho que não são do tipo seco, qual é a proporção de vinhos do tipo doce?
  3. A vinícola dá uma classificação especial aos 1 % dos vinhos com maior quantidade de açúcar. Acima de qual quantidade de açúcar, um vinho recebe essa classificação?

Passo 1

Primeira coisa, Distribuiçãon normal, lembramos? Bom, talvez precisamos lembrar, não é mesmo? Primeiro olhamos cara um gráfico característico de uma distribuição normal

Com nossa

f x = 1 σ 2 π e - 1 2 x - μ σ 2

Onde a nossa esperança dada por μ e desvio padrão σ .

Então vamos tomar que

P X = x = 1 σ 2 π e - 1 2 x - μ σ 2

é nossa proporção, na qual X será a nossa quantidade de açúcar no vinho.

Entretanto, para melhorar nossa resolução, devemos lembrar que qualquer distribuição normal com média μ e desvio padrão σ pode ser “transformada” em uma distribuição normal padrão fazendo

Z = X - μ σ

Nesta forma, nossa distribuição que era definida como N μ , σ 2 → N 0,1 uma distribuição normal padrão. Desta forma podemos trabalhar a partir da própria tabela de distribuição normal padrão.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

  1. Dando continuidade, queremos saber a proporção de vinho seco produzido, ou seja,

P X < 5

Usando a transformação proposta no passo 1, temos que

P X < 5 = P Z < 5 - 12 5 = P Z < - 1,4 = Φ - 1,4

Importante não esquecer que, Φ - 1,4 = 1 - Φ 1,4 . Agora fazendo uso da nossa tabelinha marota, Φ 1,4 = 0,9192 , assim

Φ - 1,4 = 1 - 0,9192 = 0,0808

Que é nossa proporção de vinho seco produzido na vinícola.

Passo 3

(b) Agora o exercício safado hahaha quer que a gente ache a proporção de vinho doce com base na proporção de vinhos não secos.

P X > 20 X ≥ 5

Ou seja, queremos um P ( X ) com X > 20 considerando apenas os X ≥ 5 .

Usando Teorema de Bayes, na qual

P A B = P A , B P B

Temos que

P X > 20 X ≥ 5 = P X > 20 , X ≥ 5 P X ≥ 5 = P X > 20 1 - P X < 5

Agora usando a transformação do passo 1, temos que

P X > 20 1 - P X < 5 = P Z > 1,6 1 - P Z < - 1,4 = 1 - Φ 1,6 1 - Φ - 1,4 = 1 - Φ 1,6 Φ 1,4

Perceba, o valor do numerador é 1 menos a produção de vinhos até X < 20 , enquanto o valor do denominador é a produção de vinho com X ≥ 5 . Assim temos que

P X > 20 X ≥ 5 = 1 - Φ 1,6 Φ 1,4 = 1 - 0,9452 0,9192 = 0,0596

Novamente lembrando que tiramos nossos valores da tabela de distribuição normal padrão N 0,1 .

Passo 4

(c) Neste item, queremos saber quando o valor de X tal que P X > x 0,99 = 0,01

Assim podemos dizer que

P X < x 0,99 = 0,99 = P Z ≤ x 0,99 - 12 5

Assim temos que

z 0,99 = x 0,99 - 12 5 → x 0,99 = z 0,99 ⋅ 5 + 12

Mas quem é z 0,99 ?

1 2 π ∫ - ∞ z 0,99 e - t 2 2 d t = 0,99  

Que resulta em

1 2 erf ⁡ z 0,99 2 + 1 2 = 0,99 → z 0,99 = 2,33  

Assim temos que

x 0,99 = 23,65

Resposta

  1. 0,0808
  2. 0,0596
  3. 23,65

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