05) Uma fábrica produz parafusos com resistência ao torque μ , a qual deveria ser no mínimo 30   k g f m . Assuma distribuição normal para a resistência. Verificou-se que com a regulagem atual do processo 15,87 % dos parafusos saem com resistência menor que 30   k g f m . O engenheiro do processo aumentou a resistência média em 2   k g f m para tentar resolver o problema (mantendo a variância). Agora 2,28 % dos parafusos ainda caem abaixo de 30   k g f m . De quanto deve ser aumentada novamente a resistência média (mantendo a variância) para que apenas 0,5 % dos parafusos caíam abaixo de 30   k g f m ?

A) 0,4

B) 1,9

C) 1,3

D) 2,3

E) 1,1

Passo 1

Eaí pessoal, tudo certinho com vocês?

Nessa questão, temos uma fábrica de parafusos, cuja resistência segue a distribuição normal. O objetivo do processo de fabricação, é maximizar a quantidade de parafusos que saem com resistência maior do que 30   k g f m . Para isso, o engenheiro tenta mexer na resistência média, sem alterar a variância, pra conseguir diminuir a porcentagem de parafusos com baixa resistência.

O nosso objetivo é calcular em quanto que devemos aumentar a resistência média de modo que apenas 0,5 % dos parafusos tenham menos do que 30   k g f m de resistência.

Mas vocês lembram do que se trata a distribuição normal?

Falando bem o basicão, a gente precisa lembrar que ela tem um gráfico na forma de sino, e que pra calcular as probabilidades dessa distribuição costumamos normalizar a V.A para consultar uma tabelinha já pronta. É só fazer:

Z = X - μ σ

E consultar a tabelinha (que de pequena não tem nada), que vai ter essa cara daqui:

Massa! Agora bora voltar pra questão!

Passo 2

Beleza, já não estamos mais perdidos no exercício, mas o que devemos fazer agora?

Então, o objetivo é descobrir o quanto que vamos aumentar a resistência média de modo que a probabilidade de termos um parafuso delituoso seja de 0,5 % . Matematicamente falando, queremos que:

P R ≤ 30 = 0,5 %

Normalizando a probabilidade, temos:

Z R = 30 - μ R σ

Daí, escrevendo a probabilidade normalizada, vem:

P 30 - μ R σ = 0,5 %

Consultando a tabelinha, vemos que o valor de Z que dá uma probabilidade de 0,5 % , vale:

Z =   - 1,64

Logo, queremos ter:

30 - μ R σ = - 1,64

Logo:

μ R = 30 + 1,64 σ

Passo 3

Beleza, estamos quase lá! Precisamos calcular o desvio padrão e também a resistência média antiga.

Para isso, vamos usar duas informações que temos pelo enunciado:

1) Inicialmente, com a regulagem utilizada, a probabilidade de ter um parafuso defeituoso era de 15,87 % . Ou seja:

P 30 - μ σ = 15,87 %

Novamente, pela tabelinha, temos:

Z =   30 - μ σ =   - 1

⇒ 30 - μ = - σ         ( I )

2) Após aumentar a resistência média em 2   k g f m , a nova probabilidade vale 2,28 % . Logo:

P 30 - ( μ + 2 ) σ = 2,28 %

Pela tabelinha, ficamos com:

Z = 30 - μ + 2 σ =   - 2

⇒ 28 - μ =   - 2 σ         ( I I )

Beleza, fazendo I - ( I I ) , temos:

2 =   - σ - - 2 σ

σ = 2

Logo:

μ = 30 + σ = 32   k g f m

Mas, como sabemos a relação entre a nova resistência média e o desvio padrão, podemos escrever que:

μ R = 30 + 1,64 σ

Portanto:

μ R = 30 + 1,64 ⋅ 2 = 33,28   k g f m

Assim, o aumento em relação à última resistência média atualizada pelo engenheiro ( μ + 2 = 32   k g f m ) , vale:

Δ μ =   μ R - ( μ + 2 )

= 33,28 - 32 = 1,28

Por fim, finalmente temos que a resistência média deve ser aumentada em:

Δ μ ≈ 1,3   k g f m

Prontinho gente! Espero que vocês tenham entendido direitinho, até a próxima 😉

Resposta

Letra C: 1,3

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