Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

Probabilidade e Estatística – PUC RJ – 2019.2 – P2 – Questão 1

Você chega ao check-in de um aeroporto carregando uma mala que contém 10 pacotes de café, 5 pacotes de tapioca e 7 pacotes de feijão. Suponha que os pesos desses itens são todos variáveis aleatórias independentes com distribuição normal com as seguintes médias e desvios-padrão:

Pacote de café: média μ 1 = 1000   g e desvio-padrão σ 1 = 15   g .

Pacote de tapioca: média μ 2 = 450   g e desvio-padrão σ 2 = 8   g .

Pacote de feijão: média μ 3 = 600   g e desvio-padrão σ 3 = 12   g .

Suponha que o peso da mala vazia é 1,5   k g , e que, além disso, você ainda carrega exatos 2,0   k g de roupas. Pede-se:

a) Determinar o valor esperado e a variância do peso total da bagagem detalhando todos os cálculos. Qual a probabilidade de que o peso de sua bagagem exceda os 20,5   k g permitidos para o embarque?

b) No counter foram amostradas 25 bagagens com um peso médio de 20   k g e desvio-padrão de 4   k g . A aviação aérea deseja saber qual a probabilidade de que o peso médio das bagagens esteja entre 19,5   k g e 22 kg.

c) Considere como sendo a média e a variância do peso total da bagagem aquelas fornecidas no item (b). Para um tamanho de amostra n = 9 , qual a probabilidade da mala com menor peso exceder 16   k g ?

Passo 1

Fala pessoal, beleza? Prontos para mais uma questão de probabilidade?

O peso da bagagem será o peso da mala vazia junto com 2,0   k g de roupa e os pacotes de café, tapioca e feijão. Portanto, o peso total será dado por

x = 1,5 + 2,0 + c a f e + t a p i o c a + f e i j ã o

x = 3,5 + c a f e + t a p i o c a + f e i j ã o

Para achar o peso dos pacotes de café, temos que escrever

c a f e = x c 1 + x c 2 + … + x c 10

Tomando o valor esperado, temos que

E c a f e = E x c 1 + E x c 2 + … + E x c 10

Mas como E x c 1 = … = E x c 10 = μ 1 , temos que

E c a f e = 10 μ 1

Analogamente, temos

E t a p i o c a = 5 μ 2

E f e i j a o = 7 μ 3

Logo,

E x = E 3,5 + E c a f e + E t a p i o c a + E ( f e i j a o )

E x = 3,5 + 10 μ 1 + 5 μ 2 + 7 μ 3

Substituindo as médias em k g :

E x = 3,5 + 10 ⋅ 1 + 5 ⋅ 0,45 + 7 ⋅ 0,6

E x = 19,95

Com isso vemos que o valor esperado do peso total da bagagem é 19,95   k g . Para achar a variância, fazemos algo parecido:

V a r c a f e = 1 2 ⋅ V a r x c 1 + 1 2 ⋅ V a r x c 2 + … + 1 2 ⋅ V a r x c 10

Como todas as variâncias são iguais a σ 1 2 :

V a r c a f e = 10 σ 1 2 = 10 ⋅ 0,015 2 = 0,00225

Analogamente,

V a r t a p i o c a = 5 σ 2 2 = 5 ⋅ 0,008 2 = 0,00032

V a r f e i j a o = 7 σ 3 2 = 7 ⋅ 0,012 2 = 0,001008

Com isso, temos que

V a r x = V a r 3,5 + V a r c a f e + V a r t a p i o c a + V a r f e i j a o

Como V a r 3,5 = 0 , temos que

V a r x = 0,00225 + 0,00032 + 0,001008

V a r x = 0,003578

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Depois de todas as contas que fizemos no passo 1, vemos que o peso total da bagagem é uma variável aleatória x com valor esperado E x = 19,95 e variância V a r x = 0,003578 . Como se trata de uma soma de variáveis que seguem uma distribuição normal, a distribuição dela também será normal!

Lembre-se que tudo que precisamos para uma distribuição normal é sua média e sua variância e, nesse caso, já temos as duas 😊.

Queremos saber qual a probabilidade de x > 20,5 . Para isso, fazemos a tradicional mudança de variável:

z = x - E x V a r x

Com essa transformação, nós achamos uma distribuição normal de média zero e desvio-padrão um para a variável z . Essas são as distribuições que temos em tabelas.

Para que x > 20,5 , temos que

x - E x > 20,5 - 19,95 = 0,55

Logo,

z = x - E x V a r x > 0,55 0,003578 = 9,1948

Com isso, queremos achar:

P x > 20,5 = P ( z > 9,2 )

Geralmente as tabelas têm as probabilidades para z até 4 mais ou menos, pois acima disso as probabilidades são muito muito muito muito pequenininhas. Desta forma, podemos praticamente escrever:

P z > 9,2 ≈ 0

Portanto, podemos dizer que a probabilidade de o peso da bagagem ser maior que 20,5   k g é tão pequena, mas tão pequena, que é praticamente nula!

Passo 3

Partiu item (b)?

Bom, agora o enunciado falou para gente que pegaram uma amostra com n = 25 bagagens e média e desvio-padrão amostral foram:

x - = 20

σ a m o s t r a l = 4

Primeiro temos que achar o desvio padrão da média:

σ = σ a m o s t r a l n = 4 25 = 0,2

Daí, definimos a transformação de variável:

z = x - x - σ = x - 20 0,2

Queremos saber a probabilidade de o peso médio estar entre 19,5   k g e 22   k g , ou seja,

P 19,5 < x < 22 =   ?

Usando x = 19,5 , achamos

z = 19,5 - 20 0,2 = 2,5

Já para x = 22 :

z = 22 - 20 0,2 = 10

Com isso, queremos saber:

P 19,5 < x < 22 = P 2,5 < z < 10

Portanto,

P 19,5 < x < 22 = P - ∞ < z < 10 - P - ∞ < z < 2,5

Como discutido no passo 3, para z maior que 4 a probabilidade vai ser tornando cada vez menor. Assim, a probabilidade de z estar entre menos infinito e 10 é praticamente 1 . Logo, podemos escrever:

P 19,5 < x < 22 = 1 - P - ∞ < z < 2,5

Passo 4

Para achar P - ∞ < z < 2,5 , recorremos à tabela:

Vemos que

P - ∞ < z < 2,5 = 0,9938

Portanto,

P 19,5 < x < 22 = 1 - 0,9938

P 19,5 < x < 22 = 0,0062

Passo 5

Estamos quase acabando, falta só o item (c)...

No item (b) nós dividimos o desvio-padrão pela raiz de n para obter o desvio-padrão da média já que o problema queria estudar a distribuição da média. Aqui no item (c) nós não devemos fazer isso pois agora ele quer analisar a distribuição individual de uma das bagagens da amostra. Portanto, vamos usar

σ = 4

Com isso, a variável z fica

z = x - 20 4

Queremos saber a probabilidade de x < 16 . Substituindo na relação para z :

x < 16 ⇒ z < 16 - 20 4 = - 1

Portanto, queremos:

P x < 16 = P z < 1 = P - ∞ < z < 1

Olhando na tabela:

Logo,

P - ∞ < z < 1 = 0,8413

Logo,

P x < 1 6 = 0,8413

Aqui fechamos a questão 😉.

Resposta

E x = 19,95                     V a r x = 0,003578

P x > 20,5 ≈ 0       i t e m   a

P 19,5 < x < 22 = 0,0062             i t e m   b

P x < 1 6 = 0,8413               i t e m   c

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