Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

Distribuição Normal

O consumo mensal em minutos por conta de celular numa certa região é uma v.a. Normal com média 40 minutos e variância 144   (minutos)² ou desvio padrão 12   minutos.

  1. Qual a probabilidade de alguém usar o celular entre 35 e 50 minutos?
  2. Quantos minutos por mês alguém deve ficar no celular para estar entre os 5 % que menos usar o aparelho?
  3. Toma-se uma amostra de 24 usuários de celular.

  4. Qual a probabilidade do tempo médio de uso na amostra exceder a 45 minutos?
  5. Qual a probabilidade do maior tempo de uso na amostra ser menor que 50 minutos?

Passo 1

Pelo enunciado a gente tem:

X → c o n s u m o   m e n s a l   e m   m i n u t o s   p o r   c e l u l a r

X   ~   N o r m a l   40 ; 144

Agora vamos tentar calcular o que é pedido.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(a)

Aqui temos que calcular:

P 35 < X < 50 =   ?

Vamos padronizar...

P 35 < X < 50 = P 35 - 40 12 < Z < 50 - 40 12

= P - 0,42 < Z < 0,83

Aplicando conhecimentos de Normal...

= P Z < 0,83 - P Z < - 0,42

= P Z < 0,83 - P Z > 0,42

= P Z < 0,83 - 1 - P Z < 0,42

Agora a gente procura na tabela da Normal...

= 0,7969 - 1 + 0,6628

≅ 0,4597

Passo 3

(b)

Quantos minutos para estar entre os 5 % menos usados é o mesmo que calcular qual valor pra X ( " a " ) temos:

P X < a = 0,05

Padronizando....

P Z < a - 40 12 = 0,05

Qual valor de z que no interior da tabela nos dá probabilidade de 0,05 ? Na tabela tem valores a partir de 0,50 né? Então, é só a gente procurar pelo “complementar” de 0,05 que é o 0,95 . Qual valor na tabela que dá 0,95 ? Procura por 0,95 ou o mais próximo no interior da tabela e cruza a linha e coluna... vai achar..

z = 1,64

Como queríamos pra 0,05 é só inverter o sinal, z = - 1,64 .

Então a gente tem:

a - 40 12 = - 1,64

a = 20,32

Na tabela não tem o 0,95 né? Tem 0,9495 e 0,9505 , você poderia fazer uma interpolação, aí teria que:

z = - 1,645

E aí:

a = 20,26

Passo 4

(c)

Vamos calcular a probabilidade do tempo médio de uso exceder 45 minutos.

P X ¯ > 45 =   ?

Mudamos nossa variável, que agora é a média... a distribuição de uma média ficaria:

X ¯   ~   N o r m a l   μ ; σ 2 n

No nosso caso, fica:

X ¯   ~   N o r m a l   40   ; 144 24

N o r m a l   40   ; 6

Padronizando...

P X ¯ > 45 = P Z > 45 - 40 6

= P Z > 2,04

= 1 - P Z < 2,04

Olhando na tabela:

= 1 - 0,9793

= 0,0207

Passo 5

(d)

Temos uma amostra com 24 aparelhos, primeiro vamos calcular a probabilidade de qualquer um dos aparelhos durar menos de 50   minutos.

P X < 50 =   ?

P Z < 50 - 40 12 = P Z < 0,83

Olhando na tabela:

= 0,797 7

Passo 6

Tá, então a gente sabe que a probabilidade do tempo de uso de um celular ser menor que 50 minutos é de 0,7977 . Agora, o exercício pede pra que todos os celulares da amostra sejam menores que 50 minutos.

Como são a 24 celulares, a probabilidade total que a gente quer é:

= 0,7977 24

Já que pra 1 celular era 0,7977 .

Resposta

a   0,4597

b   20,26

c   0,0207

d   0,7977 24

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