Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

Distribuição Normal

Suponha que a altura dos homens em uma certa cidade tem distribuição Normal com média μ = 1,80 m e desvio padrão, σ = 10 c m . Calcule:

  1. A probabilidade de um homem ter mais de 1,90 m   de altura.
  2. O valor em metros abaixo do qual estão as alturas de 30% desses homens.
  3. A mediana e a distância interquartil da variável altura.

Passo 1

O exercício diz pra gente o que ? Que temos uma v.a. X ;

X : a l t u r a   d e   h o m e n s   d e   u m a   c i d a d e

E que essa v.a. segue uma distribuição Normal, com μ = 1,80 m e σ = 10 c m .

Lembrando que os parâmetros da Normal são μ e σ ² .

X   ~   N o r m a l   1,80 ; 10 2

Maaaas.. atenção, vamos ajeitar as unidades. Um valor tá em metros e o outro em centímetros, vou colocar tudo em centímetros.

X   ~   N o r m a l   ( 180 ; 10 2 )

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Passo 2

(a)

O exercício quer que a gente calcule P ( X > 190 ) , concorda ?

Fazendo o processo de padronização da Normal.

P X > 190 = P Z > 190 - 180 10

        = P Z > 1

                        = 1 - P Z < 1

        = 1 - Φ 1

Procurando na tabela o valor de Φ ( 1 ) , cruzando a linha 1 com a coluna 0,00, vamos ter.

P X > 190 = 1 - 0,8413

= 0,1587

Passo 3

A gente quer o valor em metros abaixo do qual estão 30% dos homens dessa cidade. Vamos chamar esse valor de k .

A gente sabe então que:

P X < k = 0,30

Usando o processo de padronização:

P Z < k - 180 10 = 0,30

Tá! Mas qual valor de Z que na tabela eu encontro probabilidade 0,30 ? Nenhum, porque na tabela só tem valores de probabilidade maiores que 0,5, lembra ?

Só que como a Normal tem simetria, procurar um valor z que tenha probabilidade 0,30 é o mesmo que procurar um valor que tenha probabilidade 1 - 0,3 → 0,7 e trocar o sinal.

Se você olhar aí na sua tabela, o valor que dá a prob. mais próxima de 0,70 é o z = 0,52 .

Então a gente vai usar na verdade o z = - 0,52 .

Passo 4

Como:

z = k - 180 10

E z = - 0,52 , então:

- 0,52 = k - 180 10

k = 180 - 5,2

k = 174,8   c m

Como o problema pede em metros, nossa resposta final é:

k = 1,748   m

Passo 5

(c)

Então, como temos a simetria na Normal, a mediana será a própria média.

Já que:

E X = μ = 180

Então;

m e d i a n a X = 180   c m

Passo 6

Pra calcular a distância interquartil, que é:

D I Q = Q 3 - Q 1

Precisamos calcular Q 3 e Q 1 .

Pra isso a gente tem que fazer.

P X < Q 1 = 0,25

P X < Q 3 = 0,75

Lembrou ? primeiro quartil será o valor que abaixo dele estão 25% dos homens da cidade e o terceiro quartil aquele que estão 75% dos homens abaixo.

Passo 7

Vamos padronizar.

P X < Q 1 = P Z < Q 1 - 180 10 = 0,25

Φ Q 1 - 180 10 = 0,25

Procurando na tabela você não vai encontrar o valor de prob. 0,25, por aquele motivo que eu disse. Na tabela só tem probabilidades maiores que 0,50.

Mas devido a simetria é só você pegar o valor que dá prob. de 0,75 ( = 1 - 0,25 ) , lembrando de trocar o sinal.

Procurando na tabela você verá que o valor que dá a prob. mais próxima de 0,75 é z = 0,67 .

Então:

Q 1 - 180 10 = - 0,67

Q 1 = 180 - 6,7 = 173,3

Passo 8

Fazer o mesmo raciocínio para Q 3 .

P X < Q 3 = P Z < Q 3 - 180 10 = 0,75

Φ Q 3 - 180 10 = 0,75

Procurando na tabela a gente já sabe que o valor encontrado será z = 0,67 .

Com isso:

Q 3 - 180 10 = 0,67

Q 3 = 180 + 6,7 = 186,7

Passo 9

Vamos só substituir pra acabar essa parada.

D I Q = Q 3 - Q 1

D I Q = 186,7 - 173,3

D I Q = 13,4   c m = 0,134   m

Resposta

a   0,1587

b   1,748   m

c   m e d i a n a X = 1,80   m     ,     D I Q = 0,134   m

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