Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

Distribuição Normal

Uma empresa produz televisores de 2 tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo), e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tem distribuição normal sendo que, no tipo A , com média de 10 meses e desvio padrão de 2 meses e no tipo B , com média de 11 meses e desvio padrão de 3 meses. Os televisores de tipo A e B são produzidos com lucro de 1200   u . m e 21000   u . m respectivamente e, caso haja restituição, com prejuízo de 2500   u . m e 7000   u . m respectivamente.

  1. Calcule as probabilidades de haver restituições nos televisores do tipo A e do tipo B .
  2. Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo B .
  3. Baseando-se nos lucros médios, a empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B , explique conforme o resultado do item " b " ?

Passo 1

Vamos anotar os dados do problema... temos dois tipos de aparelho e a o tempo de duração antes de um problema grave em cada um dos tipos é modelado por uma Normal diferente...

A → t e m p o   a t é   u m   p r o b l e m a   g r a v e   n o   t i p o   A

B → t e m p o   a t é   u m   p r o b l m e a   g r a v e   n o   t i p o   B

No enunciado tem que:

A   ~   N o r m a l   10   ; 2 2

B   ~   N o r m a l   11   ; 3 2

Agora vamos ver o que que a gente tem que calcular.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(a)

O que que precisa acontecer pra haver restituição em qualquer um dos tipos? O aparelho tem que dar cao antes de seis meses, certo?

Então pra calcular a probabilidade de haver restituição nos dois tipos é só calcular:

P A < 6   e   P B < 6

Passo 3

P A < 6 =   ?

Padronizando...

P A < 6 = P Z < 6 - 10 2

= P Z < - 2

= P Z > 2

= 1 - P Z < 2

Olhando na tabela da normal.. P Z < 2 = 0,9772 .

P A < 6 = 1 - 0,9772

= 0,0228

Passo 4

P B < 6 =   ?

Padronizando de novo.

P B < 6 = P Z < 6 - 11 3

= P Z < - 5 3

= P Z > 5 3

= 1 - P Z < 1,67

Olhando na tabela...

= 1 - 0,9525

P B < 6 = 0,0475

Passo 5

(b)

Vamos fazer separado pra cada tipo de televisor, primeiro o tipo A .

Ele tem duas opções.... se não tiver restituição o lucro é de 1200 e se tiver restituição temos um prejuízo de - 2500 .

Tá.. precisamos saber qual a probabilidade de ter ou não ter restituição. E isso a gente tira da letra " a " . Lá a gente calculou a probabilidade de ter restituição, que pro tipo A era de:

p = 0,0228

Logo a probabilidade de não ter restituição é:

1 - 0,0228 = 0,9772

Passo 6

Pra calcular o lucro esperado, ou seja, a esperança do lucro E L (considere L →   lucro), precisamos multiplicar cada possível valor do lucro ( 1200   e - 2500 ) pelas suas respectivas probabilidades ( 0,9772 e 0,0228 ) .

E L A = 0,9772 × 1200 - 0,0228 × 2500

= 1115,64   u . m .

Passo 7

Pro tipo B vamos fazer a mesma coisa.

Primeiro os possíveis lucros de B :

21000 → s e m   t e r   r e s t i t u i ç ã o

7000 → c o m   r e s t i t u i ç ã o

Agora as probabilidades de ter ou não ter restituição que a gente tira do primeiro item do exercício.

p = 0,0475

1 - p = 0,9525

A E L B vai ser igual a:

E L B = 0,9525 × 2100 - 0,0475 × 7000

= 1667,75   u . m .

Passo 8

(c)

A empresa tem que incentivar a venda do produto que se espera ter mais lucro, concorda?

Pensando assim, a empresa deve incentivar a venda do aparelho do tipo B , já que esse tem um lucro médio maior que o do tipo A .

Resposta

a   t i p o   A → 0,0228     e     t i p o   B → 0,0475

b   E L A = 1115,64       e       E L B = 1667,75

c   t i p o   B

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