O tempo T , em minutos, para completar uma reação química tem distribuição LnNormal com μ = 2.8   e   σ = 0.3

Cada reação é realizada, em grande escala, dentro de uma garrafa e as garrafas são tampadas ao completar 32 minutos de iniciada a reação . Se 500 dessas garrafas são escolhidas aleatoriamente, qual a probabilidade de que em no máximo 20 delas a reação não tenha sido completada?

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de estatística. Nosso objetivo é

calcular a probabilidade de no máximo 20 garrafas não terem terminado a reação a tempo. Onde o tempo de reação tem distribuição LogNormal com μ = 2.8   e   σ = 0.3 . Lembram dessa distribuição?

Se X tem distribuição LogNormal, então sua função de densidade é:

f ( x ) = 1 x σ 2 π e x p { - ( l n ( x ) - μ ) 2 / ( 2 σ 2 ) }

Logo, a probabilidade de uma garrafa não terminar a tempo a reação, é a probabilidade da reação durar mais que 32 minutos, que é dada por:

P ( X > 32 ) = ∫ 32 ∞ f ( x ) d x

Infelizmente essa probabilidade não é calculável analiticamente, sendo necessário o uso de um computador. Mas vamos chamá-la de p

P ( X > 32 ) = p

Passo 2

Agora que sabemos qual é a probabilidade de uma reação não terminar a tempo é p . Como podemos calcular a probabilidade de no máximo 20 reações não terminem em um lote de 500?. Alguma ideia?

Podemos usar a distribuição binomial. Já que ela serve para contar a probabilidade de se obter um certo número de sucessos em n lançamentos. E essa distribuição tem a seguinte definição.

P ( x = k ) = n ! k ! ( n - k ) ! p k ( 1 - p ) n - k

onde p é probabilidade do evento de interesse e k o número de ocorrências desse evento.

No nosso caso, n = 500   e   p = p . Mas quem seria o nosso k . Bem, como queremos a probabilidade de no máximo 20 reações incompletas, isso quer dizer que queremos a soma das probabilidades de termos uma reação, duas, três,..., vinte incompletas, ou seja, A nossa probabilidade de interesse é:

P ( x = 1 ) + P ( x = 2 ) + ⋯ P ( x = 20 )

Que deve ser calculado com a ajuda de um programa, pois as contas são absurdas.

Resposta

Desenvolvimento acima

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