Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

PUCRIO, Probabilidade e Estatísitica, P4 - 2018.1, Questão 4bc

Um apartamento de 2 quartos numa certa região da cidade custa, em média, R $   260   m i l . A dispersão entre os valores, medida pelo desvio padrão, é R $   100   m i l .

Além disso, pode-se assumir os preços dos apartamentos como independentes entre si e normalmente distribuídos.

b) Considere 16 compradores de apartamentos de 2 quartos neste bairro. Qual a probabilidade do preço médio pago por eles ser inferior a R $   250   m i l ?

c) Dentre as 16 pessoas nesta mesma amostra, qual a probabilidade do comprador que pagou mais caro por um apartamento ter pago menos de R $   265   m i l ?

Passo 1

b)

Se os apartamentos tem média e desvio padrão pro seu preço, podemos assumir que o preço P dos apartamentos vai seguir uma distribuição normal com esses parâmetros:

P ~ N o r m a l 260.000 ; 100.000 2

Vamos chamar de S a média dos preços pagos por cada um dos 16 compradores. Então:

S = P 1 + P 2 + P 3 + P 16 16

Para descobrir os parâmetros da variável S , podemos “aplicar” esperança e desvio padrão dos dois lados:

E S = E P 1 16 + E P 2 16 + E P 3 16 + E P 16 16

Como E P = 260.000 :

E S = 16 × 260000 16 = 260000

E o desvio padrão:

D P S = D P P 1 16 + D P P 2 16 + D P P 3 16 + D P P 16 16

Como D P P = 100.000 :

D P S = 16 × 100000 16 = 100000

Então...

S ~ N o r m a l 260.000 ; 100.000 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Queremos então a probabilidade desse preço médio S ser menor que 250000 :

P ( S < 250000 )

Padronizando:

P Z < 250000 - 260000 100000 = P Z < - 0,1 = P Z > 0,1 = 1 - P Z < 0,1

Procurando Φ ( 0,1 ) na tabela temos que:

1 - P Z < 0,1 = 1 - 0,5398 = 0,4602

Então esse aí é a probabilidade do preço médio dos apartamentos ser menor que 250000 .

Passo 3

c)

Agora queremos a probabilidade do comprador que pagou mais caro por um apartamento ter pago menos de R $   265   m i l .

Pensa comigo, a probabilidade do apartamento mais caro valer no máximo 265   m i l é a mesma coisa que a probabilidade de todos os apartamentos serem mais baratos que esse valor, concorda? Já que ele é o mais caro, não tem nada acima dele!

Então:

P m a i s   c a r o   s e r   m e n o r   q u e   265   m i l = P ( t o d o s   s e r e m   m e n o r   q u e   265   m i l )

Lembrando que P é o preço pago pelos apartamentos e que como vimos:

P ~ N o r m a l 260.000 ; 100.000 2

Temos que calcular:

P t o d o s   s e r e m   m e n o r   q u e   265   m i l = P ( P < 265 000 )

Padronizando issaê:

P Z < 265 000 - 260000 100000 = P Z < 0,05

Procurando esse z na tabela...

P Z < 0 , 05 = 0,5199

Resposta

b)

0,4602

c)

0 , 5199

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