Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

UFF, Probabilidade e Estatística, 2ª VE - 2ª VE (A), Questão 2

O diâmetro de uma conexão é distribuído normalmente, com uma média de 0,4008 e um desvio padrão de 0,0004 . As especificações do projeto são 0,4000 ± 0,0010 . Note que o processo de fabricação está operando com a média diferente da especificação do projeto.

  1. Determine a probabilidade de uma peça estar fora da especificação.
  2. O Engenheiro de Controle de Qualidade decide ajustar a máquina de modo que a nova média fique dentro da especificação. Nessa situação, qual a probabilidade da peça estar fora da especificação?
  3. Se uma peça dentro da especificação gera um lucro de R $   50 , e fora da especificação um lucro de apenas R $   10 , calcule o lucro esperado para os casos a e ( b ) .

Passo 1

(a)

A produção da peça segue uma distribuição Normal:

X   ~   N o r m a l   0,4008   ; 0,0004 2

A especificação do projeto é que o diâmetro médio esteja dentro do intervalo 0,4000 ± 0,0010 .

Os limites do intervalo especificado seriam então 0,399   ; 0,401 .

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Passo 2

Podemos calcular então a probabilidade da peça produzida estar dentro da especificação.

P 0,399 < X < 0,401 =   ?

Padronizando...

P 0,399 - 0,4008 0,0004 < Z < 0,401 - 0,4008 0,0004

= P - 4,5 < Z < 0,5

= P Z < 0,5 - P Z < - 4,5

= P Z < 0,5

Já que P Z < - 4,5 = 0 , a tabela da normal só vai até 3,9 lembra?

Olhando pela tabela...

P Z < 0,5 = 0,6915

Com isso, chamando S estar dentro da especificação:

P S = 0,6915

Mas a gente quer a probabilidade de estar fora da especificação, que nada mais é do que 1 - isso.

P S c = 0,3085

Passo 3

(b)

Cara, aqui o exercício diz que o Engenheiro ajusta a máquina pra que a nova média fique dentro da especificação. Minha interpretação pra isso é que tipo, a nova média passaria de 0,4008 para 0,4000 que é a média da especificação. E o desvio padrão continuaria o mesmo.

Desse jeito, a nossa v.a. iria seguir uma distribuição Normal com média 0,4000 e desvio padrão 0,0004 .

X   ~   N o r m a l   ( 0,4000   ; 0,0004 ² )

Passo 4

De novo, vou usar a mesma ideia. O exercício quer a probabilidade de estar fora da especificação, vou calcular a probabilidade de estar dentro e tirar de 100 % . Desse jeito, a gente faz uma conta só.

P 0,399 < X < 0,401 =   ?

Padronizando...

P 0,3999 - 0,4 0,0004 < Z < 0,401 - 0,4 0,0004 =   ?

= P - 2,5 < Z < 2,5

= P Z < 2,5 - P Z < - 2,5

Já tá sussa nisso né? Primeiro a gente tira o sinal negativo ali (porque na tabela não tem valor negativo).

= P Z < 2,5 - P Z > 2,5

Surgiu um sinal de maior, agora a gente faz aquele esquema...

= P Z < 2,5 - 1 - P Z < 2,5

= 2 . P Z < 2,5 - 1

Aí é só olhar na tabela da Normal (linha 2,5 com coluna 0,00).

= 2 × 0,9938 - 1

= 0,9876

Passo 5

Se essa é a probabilidade de estar dentro do intervalo de especificação, a probabilidade de estar fora vai ser 1 menos isso...

1 - 0,9876 = 0,0124

Passo 6

(c)

Para o caso (a)..

Teremos lucro de 50 com probabilidade de 0,6915 que é a prob. de estar dentro da especificação e teremos lucro de apenas 10 com 0,3085 de probabilidade.

Com isso, nosso lucro esperado seria:

E L u c r o = 50 × 0,6915 + 10 × 0,3085

= R $   37,66

Para o caso (b) as probabilidades de estar dentro ou fora do especificado mudam e isso muda o lucro esperado também, que passa a ser:

E L u c r o = 50 × 0,9876 + 10 × 0,0124

= R $ 49,51

Lembra? Pra fazer a esperança de uma v.a. dessa a gente pega os possíveis resultados ( 50 e 10 ) e multiplica pelas suas respectivas probabilidades.

Resposta

a   0,3085

b   0,0124

c   R $ 37,66     e     R $ 49,51

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