Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

UFF, Probabilidade e Estatística, VR - VR, Questão 3

A espessura de uma forja de duralumínio (em mm) é normalmente distribuída com μ = 22,86 e σ = 0,0762 . Os limites de especificação foram dados como 22,86 ± 0,127   m m .

  1. Que percentual de forjas será defeituoso?
  2. Qual é o valor máximo permissível para σ que permitirá que não exista mais de 1 forja defeituosa em 100 se as espessuras forem de μ = 22,86 e σ ?

Passo 1

Letra a

X v.a. que simboliza a espessura de uma forja de duralumínio.

X   ~   N o r m a l   22,86   ; 0,0762 2

Os limites da especificação são 22,86 ± 0,127

= 22,733   ; 22,987

Temos que calcular o percentual de forjas que será defeituoso, ou seja, que estarão fora dos limites de especificação.

Poderíamos calcular o percentual acima de 22,987 e somar com os abaixo de 22,733 . Mas acho mais prático calcular o percentual que estará dentro dos limites e tirar de 100 % .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando os que estão dentro do limite, sem defeito.

P 22,733 < X < 22,987 =   ?

Padronizando...

P 22,733 - 22,86 0,0762 < Z < 22,987 - 22,86 0,0762

P - 1,67 < Z < 1,67

= P Z < 1,67 - P Z < - 1,67

Tirando o sinal de negativo...

= P Z < 1,67 - P Z > 1,67

Mudando o sinal de maior por um de menor...

= P Z < 1,67 - 1 - P Z < 1,67

= 2 . P Z < 1,67 - 1

Olhando na tabela da Normal...

= 2 × 0,9525 - 1

= 0,905

Passo 3

Com isso, o valor que queremos, que representa o percentual de defeituosos será:

1 - 0,905 = 0,095

Que é o mesmo que 9,5 % .

Passo 4

Letra b O que queremos nesse exercício que o valor da probabilidade de não ser defeituoso abaixo seja igual a 99% (1 defeituosa em 100). E por que igual e não menor ou igual? Pois ele quer o maior valor possível e isto ocorre no 1%

P 22,733 < X < 22,987 =   0,99

Passo 5

Padronizando...

P 22,733 - 22,86 σ < Z < 22,987 - 22,86 σ = 0,99

P - 0,127 σ < Z < 0,127 σ = 0,99

P Z < 0,127 σ - P Z < - 0,127 σ = 0,99

Tirando o sinal de negativo...

P Z < 0,127 σ - P Z > 0,127 σ = 0,99

Mudando o sinal de maior por um de menor...

P Z < 0,127 σ - 1 - P Z < 0,127 σ = 0,99

2 . P Z < 0,127 σ - 1 = 0,99

P Z < 0,127 σ = 1 + 0,99 2 = 0,995

Olhando na tabela da Normal...

0,127 σ = 2,60

0,127 2,60 = σ

σ = 0,0488

Resposta

a   9,5 %

b   σ = 0,0488

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