3.6. Calcule as integrais abaixo:

(c) ∫ s e n 2 t d t

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nosso objetivo nesse problema é obter a integral de f t = s e n 2 t .

E aí, como fazemos isso? 🤔

Para obter a integral de s e n 2 t temos que aplicar uma transformação trigonométrica dessa função para facilitar nossa vida.

Podemos reescrever s e n 2 t como 1 - cos ⁡ 2 t 2 , ou seja

∫ s e n 2 t d t = ∫ 1 - cos ⁡ 2 t 2 d t

Entendeu essa parte? 😁

Passo 2

Aplicando a propriedade linear das integrais, temos

∫ s e n 2 t d t = 1 2 ∫ 1 - cos ⁡ 2 t d t = 1 2 ∫ 1 d t - ∫ cos ⁡ 2 t d t

Pelo método de integração polinomial, a integral de 1 é dada por

∫ 1 d t = t

Já na integral de cos ⁡ 2 t é obtida pelo método de substituição fazendo u = 2 t e consequentemente d t = 1 2 d u

∫ cos ⁡ 2 t d t = ∫ cos ⁡ u 1 2 d u

∫ cos ⁡ 2 t d t = 1 2 ∫ cos ⁡ u d u

Pelo teorema fundamental do cálculo a integral de cos ⁡ u é dada por

∫ cos ⁡ 2 t d t = 1 2 s e n u

Substituindo na integral de s e n 2 t

∫ s e n 2 t d t = 1 2 t - 1 2 s e n u

Voltando u para 2 t ...

∫ s e n 2 t d t = 1 2 t - 1 2 s e n 2 t + C

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ s e n 2 t d t = 1 2 t - 1 2 s e n 2 t + C

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