Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

Q01c) Calcule as integrais abaixo

∫ x 2 9 - x 2 d x

Passo 1

Essa integral é bem feinha né? Tem raiz, polinômio dentro e fora dela e como se não bastasse, a raiz ainda ta no denominador! Mas olha só, eu tenho algo do tipo x 2 ± a dentro da raiz. Quando é assim, da pra gente brincar de Pitágoras:

Falta só eu dar nome aos bois. Ou melhor, aos catetos e a hipotenusa. Como tio Pitágoras falou pra gente que:

h i p o t e n u s a 2 = c a t e t o 1 2 + c a t e t o 2 2

Pra uma raiz e um sinal de menos dentro dela aparecer, a única forma é manipulando:

h i p o t e n u s a 2 - c a t e t o 1 2 = c a t e t o 2 2

c a t e t o 2 = h i p o t e n u s a 2 - c a t e t o 1 2

Agora ficou um pouco com a cara do que temos na raiz né. Vamos ter:

h i p o t e n u s a 2 = 9

c a t e t o 1 2 = x 2

E logo:

h i p o t e n u s a = 3

c a t e t o 1 = x

Mas também:

c a t e t o 2 = 9 - x 2

Agora é só a gente por tudo dentro do triângulo retângulo:

E acredite ou não, esse triângulo simpático vai ajudar bastante a gente! Uma coisa importante sobre essa forma de resolver é que as vezes a escolha das posições dos catetos atrapalha a gente. Não tem jeito, é tentativa e erro. Essa posição ai já vai nos dar o pulo do gato.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem, já que temos o triângulo auxiliar, a partir dele e o ângulo θ , conseguimos tirar relações trigonométrica. Por exemplo:

cos ⁡ θ = 9 - x 2 3 →   9 - x 2 = 3 cos ⁡ θ

sen ⁡ θ = x 3

E logo:

9 - x 2 = 3 cos ⁡ θ

x = 3 sen ⁡ θ

Agora é só substituir na integral. Mas antes pra achar a expressão de d x em função de d θ , vamos derivar a segunda linha:

x = 3 sen ⁡ θ

d x d θ = 3 cos ⁡ θ

d x = 3 cos ⁡ θ d θ

Juntando tudo, vamos ter:

∫ x 2 9 - x 2 d x = ∫ 3 sen ⁡ θ 2 3 cos ⁡ θ 3 cos ⁡ θ d θ

∫ x 2 9 - x 2 d x = ∫ 9 sen 2 ⁡ θ d θ = 9 ∫ sen 2 ⁡ θ d θ

Opa, restou só uma integral! Uma até bem direta. Sabe porque? Porque tem uma relação trigonométrica i.m.p.o.r.t.a.n.t.í.s.s.i.m.a que diz que:

sin 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

Substituindo então, temos:

9 ∫ sen 2 ⁡ θ d θ = 9 ∫ 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ = 9 2 ∫ 1 d θ - ∫ cos ⁡ 2 θ d θ = 9 2 θ - sin ⁡ 2 θ 2 + C

Passo 3

Fechamos a integração, o resultado deu:

∫ x 2 9 - x 2 d x = 9 2 θ - sin ⁡ 2 θ 2 + C

Vai faltar só a gente voltar pra variável original. E é pra isso que temos nosso triângulo auxiliar:

Veja bem, se tínhamos feito a substituição:

x = 3 sin ⁡ θ

Vamos ter:

sin ⁡ θ = x 3

θ = arcsin ⁡ x 3

Agora, note que:

sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ

E o seno e o cosseno dá pra tirar do triângulo em! vamos ter:

sin ⁡ 2 θ = 2 ∙ x 3 ∙ 9 - x 2 3

sin ⁡ 2 θ = 2 x 9 - x 2 9

Substituindo isso vamos ter:

∫ x 2 9 - x 2 d x = 9 2 θ - sin ⁡ 2 θ 2 + C

∫ x 2 9 - x 2 d x = 9 2 arcsin ⁡ x 3 - 2 x 9 - x 2 9 2 + C

∫ x 2 9 - x 2 d x = 9 2 arcsin ⁡ x 3 - x 9 - x 2 9 + C

Resposta

∫ x 2 9 - x 2 d x = 9 2 arcsin ⁡ x 3 - x 9 - x 2 9 + C

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