Resolva as integrais seguintes:

d) Inspirada na integral de Barack Obama (SQ1796)

∫ x + 2 x 2 + 3 x - 10   d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente resolver a integral indefinida na forma:

∫ x + 2 x 2 + 3 x - 10   d x

A primeira coisa que a gente pode pensar é em fazer uma substituição simples ou trigonométrica, mas nesse caso nenhuma delas vai ajudar a gente. Mas calma, porque é aí que entra o tal do método das frações parciais. E nós devemos pensar em usar ele sempre que o grau do numerador for menor que o grau do denominador.

Então, o que a gente vai fazer é “quebrar” essa fração em duas mais simples de integrar. Pra isso, a gente vai fatorar o denominador, encontrar as constantes do numerador e substituir na integral.

Vamos lá!

Passo 2

Fatorando o nosso denominador, temos:

x + 2 x 2 + 3 x - 10 = x + 2 ( x - 2 ) ( x + 5 )

Esses termos, ( x - 2 ) e ( x + 5 ) , são os fatores do denominador. São fatores do primeiro grau, com duas raízes distintas, 2 e - 5 .

Então, nós vamos escrever nossa expressão assim:

x + 2 x 2 + 3 x - 10 = A ( x - 2 ) + B ( x + 5 )

Onde A e B são constantes.

Pra determinar A e B , vamos botar tudo no mesmo denominador e comparar os dois lados da equação:

x + 2 ( x - 2 ) ( x + 5 ) = A x + 5 + B ( x - 2 ) ( x - 2 ) ( x + 5 )

x + 2 ( x - 2 ) ( x + 5 ) = A x + 5 A + B x - 2 B ( x - 2 ) ( x + 5 )

x + 2 ( x - 2 ) ( x + 5 ) = ( A + B ) x + 5 A - 2 B ( x - 2 ) ( x + 5 )

Comparando os termos no numerador, temos:

x + 2 = ( A + B ) x + 5 A - 2 B

→ A + B = 1 5 A - 2 B = 2

Resolvendo o sisteminha, a gente encontra:

A = 4 7

B = 3 7

Passo 3

Então, nós chegamos à conclusão que:

x + 2 x 2 + 3 x - 10 = x + 2 ( x - 2 ) ( x + 5 ) = 4 / 7 x - 2 + 3 / 7 x + 5

Usando isso pra calcular a integral, temos:

∫ x + 2 x 2 + 3 x - 10   d x = ∫ 4 / 7 x - 2   d x + ∫ 3 / 7 x + 5   d x

Colocando as constantes pra fora da integral:

∫ x + 2 x 2 + 3 x - 10   d x = 4 7 ∫ 1 x - 2   d x + 3 7 ∫ 1 x + 5   d x

Aí agora é só a gente lembrar que ∫ A x - b d x = A ln ⁡ x - b + C . Então, o resultado da nossa integral fica assim:

∫ x + 2 x 2 + 3 x - 10   d x = 4 7 ln ⁡ x - 2 + 3 7 ln ⁡ x + 5 + C

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

4 7 ln ⁡ x - 2 + 3 7 ln ⁡ x + 5 + C

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