Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triangulo retângulo.

  1. ∫ x 2 - 11 x     d x

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Geralmente essas integrais são resolvidas por uma substituição trigonométrica, geralmente são:

cos 2 θ ⁡ + sin 2 ⁡ θ = 1

tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

E variantes dessa, o que nos libera uma gama de opções.

Veja que nesse caso temos uma variante x 2 - 11 , podemos a partir dela chegar em algo parecido com o que foi dado em cima. Como?

Bom, podemos fatorar o 11, assim:

∫ 11   x 2 11 - 1 x     d x

E estamos agora mais próximos de alguma possível substituição, e assim sai fácil fácil

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Se você optou pela substituição com tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ , você acertou pois podemos achar alguma substituição com sec 2 ⁡ θ - 1 . Veja:

Façamos:

x 11 = sec ⁡ θ

Um esquema no triangulo retângulo é:

Derivando:

d x = 11 sec ⁡ θ tan ⁡ θ   d θ

PS: Anotem essas transformações, vamos usá-las ao final

Assim a nossa integral fica:

∫ 11 x 2 11 - 1 x d x = ∫ 11 sec 2 ⁡ θ - 1 11   sec ⁡ θ 11 sec ⁡ θ tan ⁡ θ   d θ

Tirando os termos que se cortam:

∫ 11 sec 2 ⁡ θ - 1   tan ⁡ θ d θ  

Como já dito antes, sabemos que sec 2 ⁡ θ - 1 = tan ⁡ θ . Assim:

∫ 11   tan 2 ⁡ θ   d θ  

Trocando de volta tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ - 1

∫ 11   sec 2 ⁡ θ - 1 ⁡ θ   d θ  

Passo 3

Sabemos que a integral de sec 2 ⁡ θ = tan ⁡ θ , assim:

∫ 11   sec 2 ⁡ θ - 1 ⁡ θ   d θ = 11 tan ⁡ θ - θ + C

não podemos esquecer da bendita constante  

Lembra das nossas substituições?

x 11 = sec ⁡ θ → θ = arcsec ⁡ x 11

Assim, substituindo θ :

11 tan ⁡ θ - θ + C = 11 tan ⁡ arcsec ⁡ x 11 - arcsec ⁡ x 11 + C

Resumindo:

∫ x 2 - 11 x     d x = 11 tan ⁡ arcsec ⁡ x 11 - arcsec ⁡ x 11 + C

Eu não disse que seria fácil? !

Resposta

∫ x 2 - 11 x     d x = 11 tan ⁡ arcsec ⁡ x 11 - arcsec ⁡ x 11 + C

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
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Calcule a integral indefinida:int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x
Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x