1. Calcule as integrais abaixo:

∫ x 2 - 16 x 3 d x

Dica: Utilize substituição trigonométrica.

Passo 1

Fala aí!!! Tudo belezinha com você? Partiu resolver mais uma questão pra arrasar na prova?

Bom, vamos primeiro entender o enunciado da questão. Ele está querendo que a gente resolva a integral dessa função aí, e dá uma dica pra gente fazer isso. Ele fala pra gente usar substituição trigonométrica. Então vamos seguir esse caminho.

Vamos fazer isso abrindo essa função em frações parciais.

Vem comigo ver como fica.

Passo 2

A integral que precisamos resolver é:

∫ x 2 - 16 x 3 d x

E como o enunciado mesmo falou, vamos usar uma substituição trigonométrica, fazendo:

x = 4 sec ⁡ θ

d x = 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

E nossa integral se torna:

∫ 16 sec 2 ⁡ θ - 16 64 sec 3 ⁡ θ 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Podemos colocar o 16 em evidência:

∫ 16 ( sec 2 ⁡ θ - 1 ) 64 sec 3 ⁡ θ 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

E lembrando que sec 2 ⁡ θ - 1 = tan 2 ⁡ θ

Nossa integral se torna:

∫ 4 tan ⁡ θ 64 sec 3 ⁡ θ 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Simplificando tudo, teremos:

1 4 ∫ tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Fazendo novamente tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ - 1

1 4 ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 sec 2 ⁡ θ d θ

Que se torna:

1 4 ∫ 1 - 1 sec 2 ⁡ θ d θ

E 1 sec 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ

Finalmente ficamos com:

1 4 ∫ 1 - cos 2 ⁡ θ d θ

Agora, basta resolvermos essa integral.

Passo 3

Para resolver a integral teremos

1 4 ∫ 1 d θ - 1 4 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ

1 4 θ - ∫ cos 2 ⁡ θ d θ

Lembrando que cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

1 4 θ - ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

1 4 θ - 1 2 ∫ 1 d θ - 1 2 ∫ cos ⁡ 2 θ d θ

Resolvendo a primeira integral, teremos:

1 4 θ - θ 2 - 1 2 ∫ cos ⁡ 2 θ d θ

Agora vamos guardar esse resultado e nos preocupar com a integral de ∫ cos ⁡ 2 θ d θ

Passo 4

Para integral

∫ cos ⁡ 2 θ d θ

Vamos usar uma substituição simples do tipo

u = 2 θ

d u = 2 d θ

Assim,

d θ = d u 2

E a integral se torna:

∫ cos ⁡ u d u 2  

1 2 ∫ cos ⁡ u d u

= 1 2 sen ⁡ u  

Voltando para θ

∫ cos ⁡ 2 θ d θ = 1 4 sen ⁡ 2 θ

Agora vamos encaixar esse resultado na nossa integral maior.

Passo 5

Assim, 1 4 θ - θ 2 - 1 2 ∫ cos ⁡ 2 θ d θ

= 1 4 θ - θ 2 - 1 4 sen ⁡ 2 θ

Fazendo θ - θ 2 = θ 2

= 1 4 θ 2 - 1 4 sen ⁡ 2 θ

Mas precisamos lembrar que nossa integral era em x e não em θ . Então vamos voltar para a variável x .

Passo 6

Lembrando que

s e n ⁡ θ = x 2 - 16 x

Mas na solução temos que substituir sen ⁡ 2 θ . Então, lembrando que:

cos ⁡ θ = 4 x

E também que

1 2 sen ⁡ 2 θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Então

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

sen ⁡ 2 θ = 2 x 2 - 16 x ⋅ 4 x

Show, agora vamos expressar o θ em função de x

Vimos que

sec ⁡ θ = x 4

Assim

θ = arcsec ⁡ x 4

Maravilha.

Passo 7

Agora vamos encaixar tudo isso no resultado da nossa integral

1 4 ∫ 1 - cos 2 ⁡ θ d θ = 1 4 θ 2 - 1 4 sen ⁡ 2 θ

Sendo

sen ⁡ 2 θ = 2 x 2 - 16 x ⋅ 4 x

E

θ = arcsec ⁡ x 4

1 4 ∫ 1 - cos 2 ⁡ θ d θ = 1 4 1 2 arcsec ⁡ x 4 - 1 4 2 x 2 - 16 x ⋅ 4 x

Simplificando, ficamos com:

1 4 ∫ 1 - cos 2 ⁡ θ d θ = 1 4 1 2 arcsec ⁡ x 4 - 2 x 2 - 16 x 2 + c

E prontinho, depois de tudo isso, esse é o resultado da nossa integral original

∫ x 2 - 16 x 3 d x = 1 4 1 2 arcsec ⁡ x 4 - 2 x 2 - 16 x 2 + c

😉

Passo 8

Resposta

∫ x 2 - 16 x 3 d x = 1 4 1 2 arcsec ⁡ x 4 - 2 x 2 - 16 x 2 + c

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida:int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x
Calcule a integral indefinida:int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x
Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x