Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

1b) Calcule

∫ - 1 1 1 x + 1 2 + 4 3 d x

Passo 1

Ok, OK, admito, essa integral assusta um pouco. Mas relaxa que vamos tirar de letra, beleza? Primeiro, nota o seguinte. Termo ao quadrado somado com um número, dentro de uma raiz. Geralmente quando isso acontece, é uma boa ideia a gente tentar uma substituição trigonométrica. Montando então o seguinte triângulo auxiliar:

Podemos fazer a seguinte substituição trigonométrica:

tan ⁡ θ = x + 1 2

x = 2 tan ⁡ θ - 1

Temos tudo agora pra achar uma expressão tanto pra x + 1 2 + 4 quando pra d x . Pro primeiro, basta continuarmos olhando pro triângulo auxiliar:

cos ⁡ θ = 2 x + 1 2 + 4

1 cos ⁡ θ = x + 1 2 + 4 2

sec ⁡ θ = x + 1 2 + 4 2

x + 1 2 + 4 = 2 sec ⁡ θ

E pra d x , basta a gente derivar em relação a x a nossa substituição otrigonométrica:

d x = 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Fazendo também a troca dos limites de integração, temos:

x = 2 tan ⁡ θ - 1

x = - 1 → θ = 0 x = 1 → θ = π 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Belezinha, agora que sabemos:

x + 1 2 + 4 = 2 sec ⁡ θ

d x = 2 sec 2 ⁡ θ d θ

x = - 1 → θ = 0 x = 1 → θ = π 4

Basta a gente substituir na integral:

∫ - 1 1 1 x + 1 2 + 4 3 d x = ∫ 0 π 4 2 sec 2 ⁡ θ 2 sec ⁡ θ 3 d θ = ∫ 0 π 4 2 sec 2 ⁡ θ 2 3 sec 3 ⁡ θ d θ = 1 4 ∫ 0 π 4 1 sec ⁡ θ d θ

O que dá em:

1 4 ∫ 0 π 4 cos ⁡ θ d θ = sin ⁡ θ 4 0 π 4

Terminando as contas pra partir pro abraço, temos:

1 4 ∫ 0 π 4 cos ⁡ θ d θ = sin ⁡ π 4 4 - sin ⁡ 0 4 = 2 8

Feshow!

Resposta

∫ - 1 1 1 x + 1 2 + 4 3 d x = 2 8

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