Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

Passo 1

Para começar precisamos encontrar qual caso de substituição trigonométrica se aplica à nossa integral. Vamos lá!

4 - x 2

Perceba que isso tem o mesmo formato de

a 2 - x 2

Nesse caso

x = a sen ⁡ θ

Então teremos

x = 2 sen ⁡ θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A próxima coisa a se fazer é encontrar d x , derivando

x = 2 s en ⁡ θ

d x = 2 cos ⁡ θ d θ

Passo 3

Agora precisamos substituir x   e d x na nossa integral.

∫ 4 - x 2 x   d x = ∫ 4 - 4 sen 2 ⁡ θ   2 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ

∫ 4 - x 2 x   d x = ∫ 4 ( 1 - sen 2 ⁡ θ ) sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Vamos fazer a substituição cos 2 ⁡ θ = 1 - sen 2 ⁡ θ

∫ 4 - x 2 x   d x = ∫ 4 cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

∫ 4 - x 2 x   d x = 2 ∫ cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ d θ

Fazendo novamente nossa substituição

∫ 4 - x 2 x   d x = 2 ∫ 1 - sen 2 ⁡ θ sen ⁡ θ d θ

∫ 4 - x 2 x   d x = 2 ∫ 1 sen ⁡ θ d θ - 2 ∫ sen ⁡ θ   d θ

Passo 4

Resolvendo as integrais

∫ 4 - x 2 x   d x = 2 ∫ 1 sen ⁡ θ d θ - 2 ∫ sen ⁡ θ   d θ

∫ 4 - x 2 x   d x = 2 ln ⁡ csc ⁡ θ - cot ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ

Passo 5

Mas não podemos dar a resposta em função de θ , precisamos voltar para x . Para isso vamos precisar do triângulo retângulo. Sabemos que

sen ⁡ θ = x 2

Então

Usando Pitágoras podemos encontrar o cateto adjacente

4 = x 2 + h 2

h = 4 - x 2

Sabemos que

cot ⁡ θ = 1 tan ⁡ θ = 4 - x 2 x

csc ⁡ θ = 1 sen ⁡ θ = 2 x

E

cos ⁡ θ = 4 - x 2 2

Substituindo na nossa integral

∫ 4 - x 2 x   d x = 2 ln ⁡ csc ⁡ θ - cot ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ + C

∫ 4 - x 2 x   d x = 2 ln ⁡ 2 x - 4 - x 2 x + 4 - x 2 + C

Resposta

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas