Calcule as seguintes integrais:

  1. ∫ ( 1 + x 2     d x

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Geralmente essas integrais são resolvidas por uma substituição trigonométrica, geralmente são:

cos 2 θ ⁡ + sin 2 ⁡ θ = 1

tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

E variantes dessa, o que nos libera uma gama de opções.

Por exemplo, se a integral é do tipo 1 + x 2 , podemos substituir o x pra levarmos até 1 + tan 2 ⁡ θ e obter sec 2 ⁡ θ .

Se isso te ajudou, carinha, vamos resolver essa questão juntos. Nada melhor que um exemplo, e vai ver como o resultado sai fácil fácil.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Temos:

∫ 1 + x 2   d x

Façamos

x = tan ⁡ θ

Para que usemos a equação tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

De forma que agora temos a derivada de x:

d x = sec 2 ⁡ θ

Anotem essas transformações, vamos usá-las ao final

Assim com a nossa substituição, temos:

∫ 1 + tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ    

Mas 1 + tan 2 ⁡ θ = sec ⁡ θ . Assim:

∫ sec 3 ⁡ θ   d θ    

Passo 3

Temos uma técnica de integração já conhecida para sec n ⁡ θ quando n > 2 . Ela aparece na tabela de técnicas de integração no fim dos livros de cálculos. É útil sempre a usarmos. Isto é:

sec n - 2 ⁡ θ tan ⁡ θ n - 1     + n - 2 n - 1   ∫ sec n - 2 ⁡ d θ

Sendo n = 3 , temos então:

sec ⁡ θ tan ⁡ θ 2     + 1 2   ∫ sec θ ⁡ d θ

Da mesa tabela de integrais, temos a integral para sec ⁡ θ , isto é:

∫ sec ⁡ θ   d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + C

Assim temos ao final:

sec ⁡ θ tan ⁡ θ 2     + 1 2   ∫ sec θ ⁡ d θ = sec ⁡ θ tan ⁡ θ 2 + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + C

Lembra que x = tan ⁡ θ e sec ⁡ θ = 1 + tan 2 ⁡ θ , de forma que sec ⁡ θ =   1 + x 2 . Assim:

sec ⁡ θ tan ⁡ θ 2 + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + C = x   1 + x 2 2   + 1 2 ln ⁡   x + 1 + x 2 + C

Resumindo:

∫ 1 + x 2   d x = x   1 + x 2 2   + 1 2 ln ⁡   x + 1 + x 2 + C

Eu não disse que seria fácil? !

Resposta

∫ 1 + x 2   d x = x   1 + x 2 2   + 1 2 ln ⁡   x + 1 + x 2 + C

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Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
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