5. Substituição Inversa

g) ∫ 0 1 2 x 3 1 - x 2 d x

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ 0 1 2 x 3 1 - x 2 d x .

Como não é uma integral que conseguimos resolver diretamente, precisaremos de alguém método.

Um bizu maneiro é que quando tiver, dentro da integral, x 2 + a 2 , x 2 - a 2 ou a 2 - x 2 (sendo a um número e x a variável), usamos substituição inversa, também conhecida como substituição trigonométrica.

Quando x 2 + a 2 , usamos x = a tan ⁡ θ .

Quando x 2 - a 2 , usamos x = a sec ⁡ θ .

Quando   a 2 - x 2 , usamos x = a sen ⁡ θ   ou x = a cos ⁡ θ .

Bora pra questão.

Passo 2

Como temos 1 - x 2 , vamos usar substituição trigonométrica:

x = sen ⁡ θ

d x = cos ⁡ θ d θ

E para o intervalo de integração:

x = 0 → θ = 0

x = 1 2 → θ = π 6

A integral fica:

∫ 0 1 2 x 3 1 - x 2 d x = ∫ 0 π 6 sen ⁡ θ 3 1 - sen ⁡ θ 2 d θ

= ∫ 0 π 6 sen 3 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ   d θ

= ∫ 0 π 6 sen 3 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Passo 3

Agora conseguimos resolver com substituição simples:

u = sen ⁡ θ

d u = cos ⁡ θ d θ

E para os limites de integração:

θ = 0 → u = 0

θ = π 6 → u = 1 2

A integral fica:

∫ 0 π 6 sen 3 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ 0 1 2 u 3 d u

= u 4 4 0 1 2

= 1 64

Resposta

1 64

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
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