3.8. Calcule ∫ t a n x d x . Dica: escreva t a n x = s i n x / c o s x e fa��a u = c o s ( x ) .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos que obter a integral da função f x = t g x pelo método de substituição como t g x = s e n x cos ⁡ x e fazendo u = cos ⁡ x .

Bora ver como é? 👀

O método de substituição consiste em substituir a variável de integração considerando parte da função de integração como uma variável.

Sacou? Veja só! 😉

Passo 2

Escrevendo a integral dada no problema, temos

∫ t a n x d x

Substituindo t g x = s e n x cos ⁡ x ...

∫ s e n x cos ⁡ x d x

Pelo método de substituição, se fizermos u = cos ⁡ x , temos que

d u d x = - s e n x → d x = - 1 s e n x d u

Aplicando essa transformação à integral...

∫ s e n x u - 1 s e n x d u

∫ - 1 u d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, a integral de 1 / u é dada por

∫ - 1 u d u = - ln ⁡ u + C

Voltando u para cos ⁡ x

∫ t a n x d x = - ln ⁡ cos ⁡ x + C

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ t a n x d x = - ln ⁡ cos ⁡ x + C

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