Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.

a )   ∫ 1 x 2 x 2 - 9 d x

Passo 1

Oiiie, tudo certinho? Bora que bora?

Eu sei que substituição trigonométrica parece o demônio! Mas vamos tentar fazer devagarzinho e ver se surge uma luz! Utilizar este método é uma questão de identificar casos específicos! Nesta questão temos o seguinte caso:

x 2 - a 2

Em que a = 3 . Para esta situação é conveniente usar a substituição:

x = a sec ⁡ ( θ ) = 3 sec ⁡ ( θ )         e           d x = 3 tan ⁡ ( θ ) sec ⁡ ( θ ) d θ

Vamos trabalhar um pouco em cima disso! Bora lá!

Passo 2

Utilizando a substituição em nossa integral, temos que:

∫ 1 x 2 x 2 - 9 d x = ∫ 3 tan ⁡ ( θ ) sec ⁡ ( θ ) 9 sec 2 ⁡ ( θ ) 9 sec 2 ⁡ ( θ ) - 9 d θ

Parece que piorou neh? Mas na verdade está melhor! Vamos lembrar que:

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ

E que:

tan ⁡ ( θ ) = sin ⁡ θ cos ⁡ θ

De forma que:

∫ 3 tan ⁡ ( θ ) sec ⁡ ( θ ) 9 sec 2 ⁡ ( θ ) 9 sec 2 ⁡ ( θ ) - 9 d θ = 1 3 ∫ sin ⁡ θ 3 sec 2 ⁡ θ - 1 d θ

Belezinha! Só precisamos reescrever isto mais um pouquinho! Vem comigo!

Passo 3

Vamos lembrar que:

sec 2 ⁡ ( θ ) = tan 2 ⁡ ( θ ) + 1       →         tan 2 ⁡ ( θ ) = sec 2 ⁡ θ - 1

Ou seja,

1 9 ∫ sin ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - 1 d θ = 1 9 ∫ sin ⁡ θ tan 2 ⁡ ( θ ) d θ = 1 9 ∫ sin ⁡ ( θ ) tan ⁡ ( θ ) d θ = 1 9 ∫ cos ⁡ ( θ ) d θ

Agora ficou mais simples hehehehe, só precisamos identificar a primitiva como:

1 9 ∫ cos ⁡ ( θ ) = 1 9 sin ⁡ ( θ ) + C

Só precisamos fazer uma última coisinha! E é voltar para a variável original! Vamos analisar o triângulo retângulo para isso! Saca só!

Passo 4

Temos que:

x = 3 sec ⁡ ( θ ) = 3 cos ⁡ θ → cos ⁡ ( θ ) = 3 x = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a

E, utilizando Pitágoras para obter o cateto oposto, temos:

x 2 = 9 + c 2 → c = x 2 - 9

E nosso triângulo retângulo tem a forma:

Beleza, vamos usar esse triângulo para encontrar a nossa resposta! Saca só!

Passo 5

Desta forma, temos que:

sin ⁡ ( θ ) = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a = x 2 - 9 x

Maravilha! Nossa resposta final é então:

∫ 1 x 2 x 2 - 9 d x = x 2 - 9 9 x + C

Feito! Bora para a próxima hehehehe! Até daqui a pouco!

Resposta

∫ 1 x 2 x 2 - 9 d x = x 2 - 9 9 x + C

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