Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

Determine a integral indefinida abaixo.

∫ d x x 3 x 2 - 4

Passo 1

Bem, não dá para resolver essa integral de cara por nenhuma primitiva fundamental e nem mesmo há uma substituição clara. Mas, como temos um termo na forma x 2 - a 2 , que é justamente x 2 - 4 , podemos usar a substituição trigonométrica.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Fazendo a substituição:

x = 2 sec ⁡ φ d x = 2 sec ⁡ φ tg ⁡ φ d φ

Temos, simplificando: ∫ 2 sec ⁡ φ tg ⁡ φ d φ 8 sec 3 ⁡ φ 4 sec 2 ⁡ φ - 1 = 1 4 ∫ sec ⁡ φ tg ⁡ φ d φ 2 sec 3 ⁡ φ sec 2 ⁡ φ - 1 = 1 8 ∫ tg ⁡ φ d φ sec 2 ⁡ φ sec 2 ⁡ φ - 1

Como:

tg 2 ⁡ φ + 1 = sec 2 ⁡ φ

Então: sec 2 ⁡ φ - 1 = tg 2 ⁡ φ

Substituindo, conseguimos simplificar ainda mais: 1 8 ∫ tg ⁡ φ d φ sec 2 ⁡ φ sec 2 ⁡ φ - 1 = 1 8 ∫ tg ⁡ φ d φ sec 2 ⁡ φ tg ⁡ φ = 1 8 ∫ d φ sec 2 ⁡ φ = 1 8 ∫ cos 2 ⁡ φ d φ

Passo 3

Vamos resolver essa nova integral agora. Bem, do cosseno ao quadrado, podemos tirar que: cos 2 ⁡ φ = 1 + cos ⁡ 2 φ 2

Assim, teremos: 1 16 ∫ 1 + cos ⁡ 2 φ d φ = 1 16 φ + sen ⁡ 2 φ 2 + C

Uma vez que:

∫ cos ⁡ 2 φ d φ = 2 2 ∫ cos ⁡ 2 φ d φ = 1 2 ∫ 2 cos ⁡ 2 φ d φ

Com a substituição simples u = 2 φ e d u = 2 d φ :

1 2 ∫ 2 cos ⁡ 2 φ d φ = 1 2 ∫ cos ⁡ u d u = 1 2 sen ⁡ u = sen ⁡ 2 φ 2 + c 1

Onde: sen ⁡ 2 φ = sen ⁡ φ + φ = 2 sen ⁡ φ cos ⁡ φ

Ficando:

1 16 ∫ 1 + cos ⁡ 2 φ d φ = 1 16 φ + sen ⁡ φ cos ⁡ φ + C

Passo 4

Repare que para chegarmos até aqui, usamos pelo menos duas identidades trigonométricas, uma para a secante e outra para o cosseno ao quadrado. Assim, é bom ter elas sempre em mente na hora da prova!

Apesar do discurso, a questão ainda não acabou. Precisamos retornar a variável do problema, o x . Para tal, temos que encontrar φ e sen ⁡ φ e cos ⁡ φ .

Da derivação de φ , temos: x = 2 sec ⁡ φ ⟹ x 2 = sec ⁡ φ ⟹ cos ⁡ φ = 2 x

Logo:

φ = arccos ⁡ 2 x = arcsec ⁡ x 2

Encontramos φ , vamos ao seno agora. Da última parte, temos: cos ⁡ φ = 2 x

Já o sen ⁡ φ , da identidade fundamental trigonométrica: sen 2 ⁡ φ + cos 2 ⁡ φ = 1 ⟹ sen 2 ⁡ φ + 2 x 2 = 1 ⟹ sen ⁡ φ = 1 - 4 x 2

Passo 5

Agora já temos o que precisamos para retornar a x : 1 16 ∫ 1 + cos ⁡ 2 φ d φ = 1 16 arcsec ⁡ x 2 + 2 x 1 - 4 x 2 + C

Se quisermos juntar tudo, temos que:

2 x 1 - 4 x 2 = 2 x x 2 - 4 x 2 = 2 x 2 - 4 x 2

Ficando: 1 16 arcsec ⁡ x 2 + 2 x 2 - 4 x 2 + C

Pronto!

Resposta

∫ d x x 3 x 2 - 4 = 1 16 arcsec ⁡ x 2 + 2 x 2 - 4 x 2 + C

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