Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

Substituição Trigonométrica

Calcule as seguintes integrais:

a   ∫ x ln ⁡ x x 2 - 1 d x

Passo 1

Para integrar essa função vamos pensar em integração por partes, já que estamos trabalhando com funções muito distintas: logaritmo não tem nenhuma relação direta com polinômios. Pela regrinha do LIATE nós devemos escolher como nosso u da integração por partes o ln ⁡ x , o resto do termo será d v . A partir disso, tudo consiste em aplicar a fórmula desse método:

u = ln ⁡ x → d u = d x x

d v = x d x x 2 - 1 → v = x 2 - 1

Essa integral do d v a gente pode fazer por substituição simples do x 2 - 1 .

Agora aplicamos aquela fórmula da integral por partes:

∫ x ln ⁡ x x 2 - 1 d x = ln ⁡ x x 2 - 1 - ∫ x 2 - 1 x d x

Agora sobrou uma outra integral, resolvemos ela para finalizar!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Esse cara aí só tem polinômios, com o detalhe que um deles é de segundo grau e está dentro de uma raiz, num formato que se encaixa em x 2 - a 2 , um dos casos para a substituição trigonométrica. Esse caso aí é o da secante!

x 2 - a 2 = x 2 - 1 → a = 1

x = a sec ⁡ θ = sec ⁡ θ → d x = sec ⁡ θ tg ⁡ θ

Jogando na integral, ficamos assim:

∫ x 2 - 1 x d x = ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 sec ⁡ θ sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

= ∫ tg 2 ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

= ∫ tg ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Repara que a tangente sai da raiz como módulo! Porém, como sec ⁡ θ é, por definição, maior ou igual a 1 e chamamos x = sec ⁡ θ , vemos que x 2 - 1 será, necessariamente positivo. Como havíamos visto, tg ⁡ θ = x 2 - 1 , então a tangente será sempre positiva e seu módulo será igual a ela mesma:

∫ tg ⁡ θ tg ⁡ θ d θ = ∫ tg 2 ⁡ θ d θ

= ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 d θ

= tg ⁡ θ - θ

Ora, como x = sec ⁡ θ , θ = arcsec ⁡ x e tg ⁡ θ = x 2 - 1 .

tg ⁡ θ - θ = x 2 - 1 - arcsec ⁡ x

Passo 3

Voltando ao passo 1 , substituímos o que acabamos de achar:

∫ x ln ⁡ x x 2 - 1 d x = ln ⁡ x x 2 - 1 - ∫ x 2 - 1 x d x

= ln ⁡ x x 2 - 1 - x 2 - 1 + arcsec ⁡ x + C

Resposta

∫ x ln ⁡ x x 2 - 1 d x = ln ⁡ x x 2 - 1 - x 2 - 1 + arcsec ⁡ x + C

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