Calcular a integral ∫ x 2 4 - x 2 d x

a) Na resolução desta integral utilizou-se a técnica de fração parcial, obtendo-se em uma das passagens de resolução os termos 4 θ - 1 2 sin ⁡ 6 θ

b) Na resolução desta integral utilizou-se a técnica de integral por partes, obtendo-se em uma das passagens de resolução os termos θ - 1 3 sin ⁡ 2 θ

c) Na resolução desta integral utilizou-se a técnica de substituição de variáveis, obtendo-se em uma das passagens de resolução os termos θ - 1 6 sin ⁡ 3 θ

d) Na resolução desta integral utilizou-se a técnica de integração por substituição trigonométrica, obtendo-se em uma das passagens de resolução os termos 2 θ - 1 2 sin ⁡ 4 θ

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente resolver a integral:

∫ x 2 4 - x 2 d x

Além disso, a gente precisa verificar qual o método utilizar e os termos que aparecem na resolução.

Beleza, a primeira coisa que a gente pode pensar é em tentar usar substituição simples ou uma integração por partes, mas nenhuma delas vai ajudar a gente.

Repara que nós temos um termo 4 - x 2 . Sempre que a gente tem algo desse tipo, nós podemos usar substituição trigonométrica.

Mas como é que a gente faz isso? No nosso caso, temos a 2 - x 2 , e o nosso a 2 é o 4 . Vamos considerar que esse a seja sempre um número positivo. Beleza, mas se a gente precisa fazer uma substituição trigonométrica, qual substituição a gente pode fazer?

Cada caso é um caso, e pra cada um a gente tem um tipo de substituição diferente, olha só:

Como o nosso caso é o terceiro, a gente pode usar x = a sin ⁡ θ ou x = a cos ⁡ θ . Vamos escolher x = a sin ⁡ θ , como nosso a 2 = 4 → a = 2 e temos:

x = 2 sin ⁡ θ

Agora achamos o d x , derivando o x :

d x = 2 cos ⁡ θ d θ

E substituímos na integral. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos olhar a substituição só na nossa raiz:

4 - x 2 → 4 - 2 sin ⁡ θ 2

= 4 - 4 sin 2 ⁡ θ = 4 ( 1 - sin 2 ⁡ θ ) = 2 1 - sin 2 ⁡ θ

Nós sabemos que sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , então:

1 - sin 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ

Substituindo na raiz:

2 cos 2 ⁡ θ = 2 cos ⁡ θ

Reparou que sumiu a raiz, né? Esse tipo de integração serve justamente pra tirar essa raiz, então fica atento a isso.

Sabemos quem é x , quem é a raiz e quem é d x , agora podemos arrumar tudo na integral.

Passo 3

Da nossa integral:

∫ x 2 4 - x 2 d x

Temos:

∫ 2 sin ⁡ θ 2 ∙ 2 cos ⁡ θ ∙ 2 cos ⁡ θ d θ

Lembra que o d x é 2 cos ⁡ θ d θ ? Por isso apareceu esse termo duas vezes ali. Assim,

∫ 4 sin 2 ⁡ θ ∙ 4 cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ 16 sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ

Colocando a constante do lado de fora da integral:

= 16 ∫ sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ

Agora ficou mais de resolver do que aquela integral original, né? A gente só tem que manipular esse sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ um pouquinho.

Passo 4

Vamos esquecer um pouco a constante que tá ali do lado de fora da integral e tentar resolver separadamente:

∫ sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ

Como é uma multiplicação de duas potências, a gente pode escrever:

∫ sin ⁡ θ cos ⁡ θ 2 d θ

Vamos tentar chegar num termo equivalente que seja mais fácil de resolver. Qual identidade eu posso usar nesse caso?

Nós sabemos que:

sin ⁡ ( 2 θ ) = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Então,

sin ⁡ 2 θ 2 = sin ⁡ θ cos ⁡ θ

E aí a gente pode jogar isso na integral:

∫ sin ⁡ θ cos ⁡ θ 2 d θ = ∫ sin ⁡ 2 θ 2 2 d θ

Vamos elevar ao quadrado e colocar a constante pra fora:

∫ sin 2 ⁡ 2 θ 2 2 d θ = ∫ sin 2 ⁡ 2 θ 4 d θ = 1 4 ∫ sin 2 ⁡ 2 θ d θ

Ainda podemos melhorar esse negócio. Usando a identidade:

sin 2 ⁡ x = 1 2 1 - cos ⁡ ( 2 x )

No nosso caso, x = 2 θ , que é o argumento que tá na função que nós estamos integrando. Então,

sin 2 ⁡ 2 θ = 1 2 1 - cos ⁡ ( 4 θ )

Vamos jogar esse resultado na integral:

1 4 ∫ sin 2 ⁡ 2 θ d θ = 1 4 ∫ 1 2 1 - cos ⁡ ( 4 θ ) d θ

= 1 8 ∫ 1 - cos ⁡ 4 θ d θ

Agora ficou melhor de resolver, vamos separar essa subtração em duas integrais pra gente enxergar melhor:

1 8 ∫ 1 d θ - ∫ cos ⁡ 4 θ d θ

Resolvendo as integrais, temos:

1 8 θ - 1 4 sin ⁡ 4 θ + C

Onde C é nossa constante de integração, não pode esquecer dela quando tivermos uma integral indefinida.

Multiplicando cada termo por 1 / 8 :

1 8 θ - 1 32 sin ⁡ 4 θ + C

Agora só falta substituir na nossa integral do passo 3.

Passo 5

Da nossa integral 16 ∫ sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ , temos:

16 1 8 θ - 1 32 sin ⁡ 4 θ + C

= 2 θ - 1 2 sin ⁡ 4 θ + C

Mas calma que esse ainda não é nosso resultado, porque precisamos voltar pra nossa variável x original.

Lembra que no passo 1 definimos x = 2 sin ⁡ θ ? Agora precisamos descobrir quem é θ , isolando ele na equação:

x = 2 sin ⁡ θ → x 2 = sin ⁡ θ

A inversa do sin ⁡ θ é o arcsin ⁡ θ , então:

θ = arcsin ⁡ x 2

Substituindo esse valor em 2 θ - 1 2 sin ⁡ 4 θ + C , temos:

2 arcsin ⁡ x 2 - 1 2 sin ⁡ 4 arcsin ⁡ x 2 + C

Agora sim, encontramos nosso resultado. Valeu, galera! 😉

Resposta

∫ x 2 4 - x 2 d x = 2 arcsin ⁡ x 2 - 1 2 sin ⁡ 4 arcsin ⁡ x 2 + C

l e t r a   d )

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