Resolva as integrais seguintes:

f)

∫ 1 x 2 - 36 3 / 2 d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente resolver a integral indefinida na forma:

∫ 1 x 2 - 36 3 / 2 d x

Galera, lembrete:

No nosso caso, temos x 2 - 36 3 , onde a = 6 (a gente sempre considera só a raiz positiva nesses casos). Pra essa raiz, nós usamos a substituição:

x = a sec ⁡ θ   →   x = 6 sec ⁡ θ

Pra encontrar o d x basta derivar:

d x = 6 sec ⁡ θ tan ⁡ θ   d θ

Agora basta a gente substituir x e d x na nossa integral.

Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a substituição só na raiz:

x 2 - 36 3 = 6 sec ⁡ θ 2 - 36 3

Elevando ao quadrado:

36 sec 2 ⁡ θ - 36 3 = 36 sec 2 ⁡ θ - 1 3

Tirando o 36 da raiz e usando a identidade trigonométrica:

sec 2 ⁡ θ - 1 = tan 2 ⁡ θ

Temos:

6 tan 2 ⁡ θ 3 = 6 3 tan 3 ⁡ θ

Agora vamos colocar tudo na integral.

Passo 3

∫ 1 x 2 - 36 3 / 2 d x = ∫ 6 sec ⁡ θ tan ⁡ θ   6 3 tan 3 ⁡ θ d θ

Simplificando:

∫ sec ⁡ θ   6 2 tan 2 ⁡ θ d θ

= 1 36 ∫ sec ⁡ θ   tan 2 ⁡ θ d θ

Mas nós temos as identidades:

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ

tan ⁡ θ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Substituindo na integral:

1 36 ∫ 1 cos ⁡ θ ∙ cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ

1 36 ∫ cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ

Pra resolver essa integral, vamos chamar u = sin ⁡ θ . Assim, d u = cos ⁡ θ d θ , e temos:

1 36 ∫ 1 u 2 d u = 1 36 - 1 u + C

Voltando pra nossa variável θ :

1 36 - 1 sin ⁡ θ + C

Mas lá em cima a gente definiu x = 6 sec ⁡ θ , então θ = arcsec ⁡ x 6 . Substituindo no nosso resultado:

1 36 - 1 sin ⁡ arcsec ⁡ x 6 + C

Ainda dá pra gente deixar isso com uma cara mais bonitinha, usando a identidade:

sin ⁡ ( arcsec ⁡ x ) = 1 - 1 x 2

Assim, temos:

1 36 - 1 1 - 1 x 2 + C

E chegamos em:

- x 36 x 2 - 36 + C

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- x 36 x 2 - 36 + C

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
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Calcule a integral indefinida:int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x
Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x