Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

Passo 1

Inicialmente, precisamos encontrar qual caso de substituição se aplica na nossa integral

4 x 2 + 9 = 4 x 2 + 3 2 2 = 2 x 2 + 3 2 2

Repare que está no mesmo formato de

x 2 + a 2

Nesse caso

x = a tan ⁡ θ

Então teremos

x = 3 2 tan ⁡ θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A próxima coisa a se fazer é encontrar d x , derivando

x = 3 2 tan ⁡ θ

d x = 3 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Agora precisamos substituir x   e d x na nossa integral.

∫ - 2 2 d x 4 x 2 + 9 = ∫ - 2 2 d x 2 x 2 + 3 2 2    

∫ - 2 2 d x 4 x 2 + 9 = 3 4 ∫ - 2 2 sec 2 ⁡ θ d θ 9 4 tan 2 ⁡ θ + 9 4  

∫ - 2 2 d x 4 x 2 + 9 = 3 4 ∫ - 2 2 sec 2 ⁡ θ d θ 9 4 ( tan 2 ⁡ θ + 1 )    

Vamos fazer a substituição tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

∫ - 2 2 d x 4 x 2 + 9 = 3 4 . 2 3 ∫ - 2 2 sec 2 ⁡ θ d θ sec 2 ⁡ θ  

∫ - 2 2 d x 4 x 2 + 9 = 1 2 ∫ - 2 2 sec ⁡ θ d θ  

Passo 4

O próximo passo é resolver a integral

∫ - 2 2 d x 4 x 2 + 9 = 1 2 ∫ - 2 2 sec ⁡ θ d θ  

∫ - 2 2 d x 4 x 2 + 9 = 1 2 ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ - 2 2

Passo 5

Mas não podemos dar a resposta em função de θ , precisamos voltar para x . Para isso vamos precisar do triângulo retângulo. Sabemos que

tan ⁡ θ = 2 x 3

Então

Usando Pitágoras podemos encontrar a hipotenusa

h 2 = 4 x 2 + 9

h = 4 x 2 + 9

Com isso, encontramos

cos ⁡ θ = 3 4 x 2 + 9

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ = 4 x 2 + 9 3

Substituindo na nossa integral

∫ - 2 2 d x 4 x 2 + 9 = 1 2 ln ⁡ 2 x 3 + 4 x 2 + 9 3 - 2 2

Aplicando os limites de integração

∫ - 2 2 d x 4 x 2 + 9 = 1 2 ln ⁡ 3 - 1 2 ln ⁡ 1 3 = ln ⁡ 3

Resposta

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