Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.

c )   ∫ x 3 x 2 + 9 d x

Passo 1

Oiiie, tudo certinho? Bora que bora?

Eu sei que substituição trigonométrica parece o demônio! Mas vamos tentar fazer devagarzinho e ver se surge uma luz! Utilizar este método é uma questão de identificar casos específicos! Nesta questão temos o seguinte caso:

a 2 + x 2

Em que a = 3 . Para esta situação é conveniente usar a substituição:

x = a tan ⁡ ( θ ) = 3 tan ⁡ ( θ )         e           d x = 3 sec 2 ⁡ ( θ ) d θ

Vamos trabalhar um pouco em cima disso! Bora lá!

Passo 2

Utilizando a substituição em nossa integral, temos que:

∫ x 3 x 2 + 9 d x = ∫ 81 tan 3 ⁡ ( θ ) sec 2 ⁡ ( θ ) 9 tan 2 ⁡ ( θ ) + 9 d θ

Parece que piorou neh? Mas na verdade está melhor! Vem comigo!

Passo 3

Vamos lembrar que:

1 + tan 2 ⁡ ( θ ) = sec 2 ⁡ ( θ )           ( 1 )

Ou seja,

81 ∫ tan 3 ⁡ ( θ ) sec 2 ⁡ ( θ ) 9 ( tan 2 ⁡ ( θ ) + 1 ) d θ = 27 ∫ tan 3 ⁡ ( θ ) sec 2 ⁡ ( θ ) sec 2 ⁡ ( θ ) d θ = 27 ∫ tan 3 ⁡ ( θ ) sec ⁡ ( θ ) d θ

Para resolver esta integral temos um pequeno truque! Segue comigo!

Passo 4

Vamos primeiro utilizar (1) novamente, temos que:

27 ∫ tan 3 ⁡ ( θ ) sec ⁡ ( θ ) d θ = 27 ∫ 1 + sec 2 ⁡ θ tan ⁡ θ sec ⁡ ( θ ) d θ

Isso é bem vantajoso porquê podemos fazer a seguinte substituição:

u = sec ⁡ ( θ )   e   d u = tan ⁡ ( θ ) sec ⁡ ( θ ) d θ

De forma que obtemos:

27 ∫ 1 + u 2 d u

Identificando a nossa primitiva, temos:

27 ∫ 1 + u 2 d u = 27 ∫ d u + 27 ∫ u 2 d u = 27 u + 9 u 3 + C

Vamos voltar a variável θ , temos:

27 u + 9 u 3 + C = 27 sec ⁡ ( θ ) + 9 sec 3 ⁡ ( θ ) + C

Só precisamos fazer uma última coisinha! E é voltar para a variável original! Vamos analisar o triângulo retângulo para isso! Saca só!

Passo 5

Temos que:

x = 3 tan ⁡ ( θ ) → tan ⁡ ( θ ) = x 3 = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e

E, utilizando Pitágoras para obter a hipotenusa, temos:

a 2 = x 2 + 9 → a = x 2 + 9

E nosso triângulo retângulo tem a forma:

Beleza, vamos usar esse triângulo para encontrar a nossa resposta! Saca só!

Passo 6

Desta forma, temos que:

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ ( θ ) = h i p o t e n u s a c a t e t o   a d j a c e n t e = x 2 + 9 3

Maravilha! Nossa resposta final é então:

∫ x 3 x 2 + 9 d x = 9 x 2 + 9 + 1 3 x 2 + 9 3 / 2 + C

Feito! Bora para a próxima hehehehe! Até daqui a pouco!

Resposta

∫ x 3 x 2 + 9 d x = 9 x 2 + 9 + 1 3 x 2 + 9 3 / 2 + C

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Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
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