Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

Calcule as integrais:

∫ 1 9 - 2 x - 1 2   d x

Passo 1

Ok, admito, essa integral assusta um pouco. Mas calma, isso acontece porque na verdade a gente acaba precisando de duas substituições. Veja bem, se escolhermos:

u = 2 x - 1 → d u = 2   d x

A integral vira:

∫ 1 2 9 - u 2   d u

O que é um pouco mais amigável, porque agora podemos visualizar uma necessidade de usar substituição trigonométrica! Pensando no seguinte triângulo auxiliar:

Podemos fazer a seguinte substituição trigonométrica:

sin ⁡ θ = u 3

u = 3 sin ⁡ θ

d u = 3 cos ⁡ θ   d θ

Temos, ainda do triângulo auxiliar, que:

cos ⁡ θ = 9 - u 2 3

9 - u 2 = 3 cos ⁡ θ

E portanto a integral vira:

∫ 1 2 9 - u 2   d u = ∫ 3 ∙ cos ⁡ θ 2 ∙ 3 ∙ cos ⁡ θ   d θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Daqui em diante é mais tranquilo, só procedermos com as contas. Pra começar, dá pra cortar em cima e em baixo 3 cos ⁡ θ :

∫ 3 ∙ cos ⁡ θ 2 ∙ 3 ∙ cos ⁡ θ   d θ = ∫ 1 2   d θ = θ 2

E opa! Na verdade já terminamos! O que falta falta mesmo é voltar pra variável original. Bem, como tínhamos do triângulo auxiliar:

sin ⁡ θ = u 3

Podemos usar funções trigonométricas inversas e conseguir isolar θ :

θ = arcsin ⁡ u 3

θ 2 = arcsin ⁡ u 3 2

Mas não acabou! Não começamos com u e sim com x . Como a substituição era u = 2 x - 1 , ficamos com:

θ 2 = arcsin ⁡ 2 x - 1 3 2

E feshow!

∫ 1 9 - 2 x - 1 2   d x = arcsin ⁡ 2 x - 1 3 2 + C

Resposta

∫ 1 9 - 2 x - 1 2   d x = arcsin ⁡ 2 x - 1 3 2 + C

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