Calcule

∫ 1 x 2 4 + x 2 d x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa integral

∫ 1 x 2 4 + x 2 d x

Temos uma raiz com x 2 , então vamos usar substituição trigonométrica! Temos algo do tipo

x 2 + a 2

Então vamos escolher

x = 2 tan ⁡ u

x 2 = 4 tan 2 ⁡ u

d x = 2 sec 2 ⁡ u d u

A ideia é substituir e calcular a integral!

Belê?

Então é isso que vamos fazer! No final não esquece de voltar para x !

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral

∫ 1 x 2 4 + x 2 d x

E a substituição

x = 2 tan ⁡ u

x 2 = 4 tan 2 ⁡ u

d x = 2 sec 2 ⁡ u d u

Substituindo temos

∫ d u 4 tan 2 ⁡ u 4 1 + tan 2 ⁡ u = 1 8 ∫ d u tan 2 ⁡ u sec ⁡ u = 1 8 ∫ cos 3 ⁡ u d u sin 2 ⁡ u

Beleza?

Agora nossa missão é resolver essa integral!

Passo 3

Substituindo cos 3 ⁡ x = cos ⁡ x ( 1 - sin 2 ⁡ u )

1 8 ∫ cos 3 ⁡ u d u sin 2 ⁡ u = 1 8 ∫ cos ⁡ u d u sin 2 ⁡ u   - ∫ cos ⁡ u d u

Agora é integrar!

- 1 8 csc ⁡ u + sin ⁡ u + C

E voltando para x

u = tan - 1 ⁡ x 2

= - 1 8 csc ⁡ tan - 1 ⁡ x 2 + sin ⁡ tan - 1 ⁡ x 2 + C

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

- 1 8 csc ⁡ tan - 1 ⁡ x 2 + sin ⁡ tan - 1 ⁡ x 2 + C

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