1) Calcule as integrais.

c) ∫ t g θ 2 sec ⁡ θ 4 d θ

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Essa é uma questão bem direta! Foi dito que temos apenas que calcular a integral da função t g θ 2 sec ⁡ θ 4 , parece fácil? 😉

Como podemos calcular essa integral? 🤔🤔

Essa função de integração do jeito que veio ao mundo não é muito fácil de ser integrada, mas podemos fazer algumas mudanças que não impactam na dinâmica da função.

Como por exemplo podemos usar as relações trigonométricas para conseguirmos simplificar a função aplicando o método de integração por substituição.

Preparado? Bora começar! 😁

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do teorema fundamental do cálculo que diz que a derivada de t g θ é igual a sec 2 ⁡ θ .

Vamos usar essa ideia para aplicar o método de substituição na integral.

∫ t g θ 2 sec ⁡ θ 4 d θ

Pelas relações trigonométricas da t g e da s e c , temos que

s e c 2 θ - t g 2 θ = 1

Ou seja

s e c 2 θ = 1 + t g 2 θ

Olhando para nossa função de integração, temos

t g θ 2 sec ⁡ θ 4 = t g θ 2 sec ⁡ θ 2 sec ⁡ θ 2

Substituindo s e c 2 θ por 1 + t g 2 θ , vamos obter

t g θ 2 sec ⁡ θ 4 = t g θ 2 sec ⁡ θ 2 1 + t g 2 θ

Assim, nossa integral fica como

∫ 1 + t g 2 θ t g θ 2 sec ⁡ θ 2 d θ

Entendeu?

Passo 3

Parece que piorou a nossa situação, não é? 👀

Mas olha só, se aplicarmos o método de substituição u d u fazendo u = t g θ , vamos ter que

d u d θ = d t g θ d θ = s e c 2 θ

Portanto d u = s e c 2 θ d θ e então aplicando as substituições.

∫ 1 + u 2 u 2 d u

Simplificando a nova função

∫ u 2 + u 4 d u

Assim podemos calcular essa integral pelo método de integração polinomial, onde somamos 1 no expoente da variável e dividimos a própria variável pelo resultado da soma do seu expoente...

∫ u 2 + u 4 d u = u 2 + 1 2 + 1 + u 4 + 1 4 + 1

∫ u 2 + u 4 d u = u 3 3 + u 5 5 + C

Não podemos deixar o resultado em função de u então temos que retornar u para t g θ

∫ t g θ 2 sec ⁡ θ 4 d θ = t g 3 θ 3 + t g 5 θ 5 + C

E esse é o resultado da integral que tínhamos no enunciado!

Interessante, não é? 😁😁

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ t g θ 2 sec ⁡ θ 4 d θ = t g 3 θ 3 + t g 5 θ 5 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida:int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x
Calcule a integral indefinida:int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x
Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x