4.2. Explique como você resolve uma integral do tipo ∫ s e n r x cos s ⁡ x d x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, nosso objetivo é explicar como podemos resolver uma integral do tipo

∫ s e n r x cos s ⁡ x d x

Onde r e s são constantes quaisquer.

E aí, tem ideia do que podemos fazer? 🤔

Perceba que as funções senos e cossenos resultam na derivada entre elas, ou seja

d s e n x d x = cos ⁡ x

d cos ⁡ x d x = - s e n x

Podemos usar essas características para aplicar o método de substituição u d u .

Mas pra isso, temos que obter uma simplificação da função.

Bora ver como fazemos? 👀

Passo 2

Para resolver a integral ∫ s e n r x cos s ⁡ x d x , onde r e s são constantes, podemos utilizar a técnica de substituição trigonométrica.

Existem diferentes casos possíveis que dependendo dos valores de r e s podemos aplicar na resolução da integral.

Caso r seja um número inteiro positivo ímpar, fazemos a substituição trigonométrica s e n 2 ( x ) = 1 - c o s 2 x .

Caso s seja um número inteiro positivo ímpar, fazemos a substituição trigonométrica c o s 2 x = 1 - s e n 2 x . Essas mudanças nos permitem transformar a integral em uma forma mais manejável.

Mas caso r e s sejam números inteiros positivos pares ou zero, não podemos aplicar diretamente a técnica de substituição trigonométrica. No entanto, podemos usar identidades trigonométricas para simplificar a integral antes de resolvê-la.

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Por exemplo, se tivermos

∫ s e n 3 x c o s x d x

Neste caso, temos r = 3 e s = 1 . Como r é um número ímpar, podemos fazer a substituição trigonométrica s e n 2 x = 1 - c o s 2 x . Substituindo, obtemos:

∫ s e n 3 x c o s x d x → ∫ s e n 2 x s e n x c o s x d x

∫ 1 - c o s 2 x s e n x c o s x d x

Agora, fazemos a substituição u = c o s x e, portanto, d u = - s e n x d x . A integral se torna:

- ∫ 1   -   u 2 d u

Bem mais fácil, não é? 😁

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Por substituição trigonométrica e pelo método de substituição u d u

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