4.3. Explique como você resolve uma integral do tipo ∫ tan r ⁡ x sec s ⁡ x d x no caso em que s é par ou então r é ímpar. Explique de duas formas: (i) usando a identidade trigonométrica que envolve tan ⁡ x e sec ⁡ x e (ii) fazendo a simplificação tan ⁡ x = sin ⁡ x / cos ⁡ x e sec ⁡ x = 1 / cos ⁡ x . Se r = 2 e s = 3 , seu método funciona?

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Temos que explicar como podemos resolver a integral

∫ tan r ⁡ x sec s ⁡ x d x

Quando r é um número par e quando s é um número ímpar usando identidades trigonométricas e usando as simplificações tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x e sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x .

Parece tranquilo? 🤔

Passo 2

Vamos analisar o primeiro método:

(i) Usando a identidade trigonométrica: Podemos usar a identidade trigonométrica

s e c 2 x = 1 + t a n 2 x

para simplificar a expressão antes de integrar.

Se s é par, podemos reescrever a expressão como

∫ tan r ⁡ x sec s ⁡ x d x = ∫ tan r ⁡ x sec s - 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x

Em seguida, substituímos sec 2 ⁡ x por 1 + tan 2 ⁡ x , resultando

∫ tan r ⁡ x sec s - 2 ⁡ x 1 + tan 2 ⁡ x d x

Agora, podemos fazer uma substituição u = t a n x e d u = s e c 2 x d x . Consequentemente a integral se torna

∫ u r sec s - 2 ⁡ x 1 + u 2 1 s e c 2 x d u

que é mais fácil de integrar.

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora, se r é ímpar, podemos reescrever a expressão como

∫ tan r ⁡ x sec s ⁡ x d x =   ∫ tan r - 1 ⁡ x sec s ⁡ x sec 2 ⁡ x d x

Usando a identidade s e c 2 x = 1 + t a n 2 x , temos

∫ tan r - 1 ⁡ x sec s ⁡ x sec 2 ⁡ x d x → ∫ tan r - 1 ⁡ x sec s ⁡ x 1 + tan 2 ⁡ x d x

A primeira integral é mais fácil de lidar, enquanto a segunda pode ser simplificada usando a identidade t a n 2 x = s e c 2 x - 1 .

∫ tan r ⁡ x sec s ⁡ x d x = ∫ tan r - 1 ⁡ x sec s ⁡ x d x + ∫ tan r - 1 ⁡ x sec s ⁡ x sec 2 ⁡ x - 1 d x

Bacana, não é? 😉

Passo 4

No segundo caso, fazendo a simplificação t a n x = s i n x / c o s x e s e c x = 1 / c o s x podemos reescrever a expressão inicial como

∫ tan r ⁡ x sec s ⁡ x d x = ∫ s e n x cos ⁡ x r 1 cos ⁡ x s d x

Agora, podemos simplificar essa expressão combinando as potências de c o s x

Assim, a integral se torna

∫ s e n x cos ⁡ x r 1 cos ⁡ x s d x = ∫ s e n r x cos r + s ⁡ x d x

que pode ser resolvida usando técnicas de integração, como substituição trigonométrica ou integração por partes, dependendo do valor de r e s .

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 5

Por fim, no caso específico em que r = 2 e s = 3 , o método (i) funciona, pois r é par. Usando a identidade trigonométrica, podemos simplificar a expressão como

∫ t a n 2 x s e c 3 x d x = ∫   t a n 2 x s e c x s e c 2 x d x

Em seguida, aplicamos a substituição u = t a n x e d u = s e c 2 x d x para simplificar ainda mais a integral.

Já na segunda técnica, não podemos aplicar o método da substituição diretamente. O que temos que fazer é substituir s e n 2 x por 1 - c o s 2 x separar em duas frações e aplicar algumas identidades trigonométricas.

∫ s e n 2 x cos 5 ⁡ x d x = ∫ 1 - c o s 2 x cos 5 ⁡ x d x = ∫ 1 cos 5 ⁡ x d x - ∫ 1 cos 3 ⁡ x d x

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

Relações trigonométricas e o método de substituição u d u

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