Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

1b) Calcule as integrais abaixo:

∫ x 2 - 4 x   d x

Passo 1

Bora lá resolver essa integral. Quando a gente pega uma dessas que tem um polinômio de segundo grau dentro de uma raiz, uma estratégia é usar substituição trigonométrica. Veja só essa relação aqui:

tg 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

Se multiplicarmos por 4 dos dois lados da equação, temos:

4 tg 2 ⁡ θ + 4 = 4 sec 2 ⁡ θ

E passando o + 4 pro outro lado:

4 tg 2 ⁡ θ = 4 sec 2 ⁡ θ - 4

Agora, veja só. Como 4 = 2 2 , podemos reescrever essa relação para:

2 tan ⁡ θ 2 = 2 sec ⁡ θ 2 - 4

Ok, mas e daí? O que fazer com isso? Olha a sagacidade. Se fizermos a substituição:

x = 2 sec ⁡ θ

A relação trigonométrica vira:

2 tan ⁡ θ 2 = x 2 - 4

Opa! Apareceu aí o polinômio que ta dentro da raíz! Substituindo então:

∫ x 2 - 4 x   d x = ∫ 2 tan ⁡ θ 2 2 sec ⁡ θ   d x

∫ 2 tan ⁡ θ 2 2 sec ⁡ θ   d x = ∫ 2 tan ⁡ θ 2 sec ⁡ θ   d x = ∫ tan ⁡ θ sec ⁡ θ   d x

Ok, mas ainda não acabou. Temos que transformar d x em d θ . Pra isso, derivamos:

x = 2 sec ⁡ θ

d x d θ = 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ

d x = 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ   d θ

Ficamos então com:

∫ tan ⁡ θ sec ⁡ θ   d x = ∫ tan ⁡ θ sec ⁡ θ   2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ   d θ = ∫ 2 tan 2 ⁡ θ     d θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, não resolvemos ainda a questão. Na verdade, acabamos parando com outra integral:

∫ 2 tan 2 ⁡ θ     d θ

Essa no entanto tem menos mistério pra gente resolver. Dá uma olhada, pegando de novo a relação trigonométrica:

tg 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ - 1

Podemos substituir ela na integral e ficar com:

∫ 2 tan 2 ⁡ θ     d θ = ∫ 2 sec 2 ⁡ θ - 2     d θ = ∫ 2 sec 2 ⁡ θ d θ - ∫ 2 d θ

E olha só! sec 2 ⁡ θ é exatamente a derivada de tg ⁡ θ ! Então essa integral se resolve por:

∫ 2 sec 2 ⁡ θ d θ - ∫ 2 d θ = 2 tg ⁡ θ - 2 θ

Passo 3

A integral ta resolvida:

∫ x 2 - 4 x   d x = 2 tg ⁡ θ - 2 θ

Mas resolvida com variável errada né! Então vamos voltar pra original. Seja:

x = 2 sec ⁡ θ

Temos que:

sec ⁡ θ = x 2

θ = arcsec ⁡ x 2

E da relação trigonométrica já modificada que fizemos:

4 tg 2 ⁡ θ = 4 sec 2 ⁡ θ - 4

Ficamos com:

2 tan ⁡ θ 2 = x 2 - 4

2 tan ⁡ θ = x 2 - 4

Fechou então! Variável original de volta! O resultado vai ser:

∫ x 2 - 4 x   d x = x 2 - 4 - 2 arcsec ⁡ x 2 + C

Resposta

∫ x 2 - 4 x   d x = x 2 - 4 - 2 arcsec ⁡ x 2 + C

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