Calcule:

s )   ∫ x 2 16 x 2 + 9 d x

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Para esta questão vamos ter que utilizar uma substituição trigonométrica, belezinha? Portanto precisamos identificar qual o caso e a substituição conveniente, e após simplificar e resolver a integral devemos montar o esquema do triângulo retângulo para voltar as variáveis originais! Bora tentar fazer isso. Belezinha?

Passo 2

Para começar vamos reescrever um pouco o nosso integrando! Podemos evidenciar alguns termos no denominador! Saca só:

∫ x 2 16 x 2 + 9 d x = ∫ x 2 16 ( x 2 + 9 / 16 )   d x = 1 4 ∫ x 2 x 2 + 9 / 16 d x

A integral que restou pode ser resolvida através de uma substituição trigonométrica! Vamos com calma Hehehehe!

Passo 3

O caso que temos é da forma:

a 2 + x 2

Em que a = 3 / 4 . Portanto, é conveniente escolher:

x = 3 4 tan ⁡ ( θ )           e             d x = 3 4 sec 2 ⁡ ( θ ) d θ

Portanto, a nossa integral toma a forma:

1 4 ∫ x 2 x 2 + 9 / 16 d x = 9 64 ∫ tan 2 ⁡ ( θ ) sec 2 ⁡ ( θ ) d θ 9 16 tan 2 ⁡ ( θ ) + 9 16 = 9 64 ∫ tan 2 ⁡ ( θ ) sec 2 ⁡ θ d θ 9 16 tan 2 ⁡ θ + 1

Resumindo, temos a seguinte integral:

3 16 ∫ tan 2 ⁡ ( θ ) sec 2 ⁡ θ d θ tan 2 ⁡ ( θ ) + 1

Vamos continuar simplificando-a, okay? Bora lá!

Passo 4

Temos a seguinte relação trigonométrica:

tan 2 ⁡ ( θ ) + 1 = sec 2 ⁡ ( θ )

Portanto, a nossa integral toma a seguinte forma:

3 16 ∫ tan 2 ⁡ ( θ ) sec 2 ⁡ θ d θ tan 2 ⁡ ( θ ) + 1 = 3 16 ∫ tan 2 ⁡ ( θ ) sec ⁡ ( θ ) d θ

Vamos precisar trabalhar isso aqui um pouco mais! Beleza?

Passo 5

Vamos utilizar a relação trigonométrica:

tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

De forma que nossa integral toma a forma:

3 16 ∫ tan 2 ⁡ ( θ ) sec ⁡ ( θ ) d θ = 3 16 ∫ ( sec 2 ⁡ θ - 1 ) sec ⁡ ( θ ) d θ = 3 16 ∫ sec 3 ⁡ ( θ ) d θ - 3 16 ∫ sec ⁡ ( θ ) d θ

Mas como podemos resolver isso? Saca só!

Passo 6

Temos que utilizar a seguinte relação de redução para a função sec 3 ⁡ ( θ ) , saca só:

∫ sec m ⁡ θ d θ = sin ⁡ θ sec m - 1 ⁡ θ m - 1 + m - 2 m - 1 ∫ sec m - 2 ⁡ θ d θ

Usando m = 3 , temos:

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = sin ⁡ θ sec 2 ⁡ θ 2 + 1 2 ∫ sec ⁡ ( θ ) d θ

Ou seja, nossa integral tem a forma:

3 16 ∫ sec 3 ⁡ ( θ ) d θ - 3 16 ∫ sec ⁡ θ d θ = 3 sin ⁡ θ sec 2 ⁡ θ 32 + 3 32 ∫ sec ⁡ θ d θ - 3 16 ∫ sec ⁡ ( θ ) d θ

Reescrevendo um pouco e juntando os termos iguais, temos:

3 tan ⁡ θ sec ⁡ θ 32 - 3 32 ∫ sec ⁡ ( θ ) d θ

Agora nós temos condições de resolver!! Bora lá!

Passo 7

A nossa integral restante tem como primitiva:

3 32 ∫ sec ⁡ ( θ ) d θ = 3 32 ln ⁡ tan ⁡ ( θ ) + sec ⁡ ( θ ) + C

E, portanto, temos como resultado:

3 tan ⁡ θ sec ⁡ θ 32 - 3 32 ∫ sec ⁡ θ d θ = 3 tan ⁡ θ sec ⁡ θ 32 - 3 32 ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ + C

Ainda precisamos voltar para a variável original! Bora fazer isso!

Passo 8

Lembrando que no começo colocamos x = 3 / 4 tan ⁡ ( θ ) , e que:

tan ⁡ ( θ ) = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e = x 3 / 4

Usando Pitágoras podemos obter:

h 2 = x 2 + 9 16 → h = x 2 + 9 / 16

De forma que, se lembrarmos que:

sec ⁡ ( θ ) = 1 cos ⁡ θ = h i p o t e n u s a c a t e t o   a d j a c e n t e = x 2 + 9 / 16 3 / 4

Nosso resultado toma a seguinte forma:

∫ x 2 16 x 2 + 9 d x = 32 3 x x 2 + 9 / 16 - 3 32 ln ⁡ 4 3 x + 4 3 x 2 + 9 / 16 + C

Aí está a nossa alternativa! Pronto para a próxima? Te vejo jajá hein!!

Resposta

∫ x 2 16 x 2 + 9 d x = 32 3 x x 2 + 9 / 16 - 3 32 ln ⁡ 4 3 x + 4 3 x 2 + 9 / 16 + C

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida: ∫ 5 x + 4 x 3 x 2 + 1d x
Calcule a integral indefinida: ∫ x 2 2 - x 2d x
Calcule a integral ∫ 1 x 2 4 x 2 - 1 d x