3.7. Agora resolva estas daqui:

(e) ∫ t g 5 x sec 7 ⁡ x d x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nosso objetivo nesse problema é obter a integral da função f x = t g 5 x sec 7 ⁡ x .

Tem alguma ideia do que fazer? 🤔

Para nos ajudar nos cálculos, temos que aplicar alguma identidade trigonométrica pra simplificar a nossa função de integração.

No caso, a identidade é dada por

t g 5 x sec 7 ⁡ x = t g 2 x 2 t g x sec 7 ⁡ x = s e c 2 x - 1 2 t g x sec 7 ⁡ x

Sacou? Bora ver como fica no nosso caso! 😉

Passo 2

Aplicando a identidade na nossa integral...

∫ t g 5 x sec 7 ⁡ x d x = ∫ s e c 2 x - 1 2 t g x sec 7 ⁡ x d x

Dessa forma, aplicando o método de substituição fazendo u = sec ⁡ x e consequentemente d u d x = sec ⁡ x t g x → d x = 1 sec ⁡ x t g x d u .

∫ u 2 - 1 2 t g x u 7 1 u t g x d u

∫ u 2 - 1 2 u 6 d u

∫ u 4 - 2 u 2 + 1 u 6 d u

∫ u 10 - 2 u 8 + u 6 d u

Pelo método de integração polinomial, temos

∫ u 10 - 2 u 8 + u 6 d u = u 11 11 - 2 u 9 9 + u 7 7

Voltando u para sec ⁡ x se volta, vamos obter

∫ t g 5 x sec 7 ⁡ x d x = s e c 11 x 11 - 2 s e c 9 x 9 + s e c 7 x 7 + C

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ t g 5 x sec 7 ⁡ x d x = s e c 11 x 11 - 2 s e c 9 x 9 + s e c 7 x 7 + C

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